1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
T R O U V A B L E S
Für die Bestimmung sämtlicher Ziffern benötigt man jeweils nur die erste und
die beiden letzten Stellen und später eine (beliebige) vollständige Zahl.
(T...UE), (R...LE), (O...TA), (U...AT), (V...RU), (A...RV), (B...UT), (L...SU),
(E...VA)
Die Einerstelle einer Quadratzahl kann nur sein:
0, 1, 4, 5, 6, 9
Wegen (10x+y)² = 100x + (20xy + y²) können die letzten beiden Stellen einer
Quadratzahl nur sein:
00, 01 (21, 41, 61, 81), 04 (24, 44, 64, 84), 25, 16 (36, 56, 76, 96), 09
(29, 49, 69, 89)
Da an der ersten Stelle der neun Quadratzahlen neun unterschiedliche
Buchstaben auftauchen und keiner davon 0 sein darf, bleibt nur
S = 0
Für die "Endung" SU gehen nur
01, 04, 09
Würde U=1 oder U=9 sein, müssten sowohl E=6 als auch T= sein,
Widerspruch, also
U = 4
In der Einerstelle der Quadratzahlen tauchen die Buchstaben E (2x), A (2x),
T (2x), U (2x) und V (1x) auf. Bei 5 verschiedenen Buchstaben werden also alle
oben genannten Einerstellen (außer 0) benötigt. Da es mit Endung 5 nur eine
Möglichkeit gibt, muss V = 5 sein und damit steht auch R = 2 fest:
V = 5
R = 2
Aus der Endung VA mit V=5 folgt, einzige Möglichkeit für A ist
A = 6
Für E und T bleiben jetzt nur noch die Einerziffern 1 und 9 übrig.
L aus der Endung LE muss sowohl für E=1, als auch für E=9 gerade sein. Da nur
noch die 8 übrig ist, folgt
L = 8
Für B und O bleiben jetzt nur noch die Ziffern 3 und 7 übrig.
In eine beliebige (wähle hier gleich die erste) der neun Quadratzahlen setze
ich alle gefundenen Ergebnisse ein. Weil je zwei Buchstaben noch nicht
bestimmt sind, muss ich 2x2 = 4 Überprüfungen machen:
1026357849 ist keine Quadratzahl
1026753849 ist Quadratzahl
9026357841 ist keine Quadratzahl
9026753841 ist keine Quadratzahl
Damit ergeben sich
T = 1, E = 9, B = 7, und O = 3
Probe für alle neun Quadratzahlen:
1026753849 = 32043²
2076351489 = 45567²
3074258916 = 55446²
4730825961 = 68781²
5803697124 = 76182²
6471398025 = 80445²
7935068241 = 89079²
8135679204 = 90198²
9814072356 = 99066²
