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Rätsel und Puzzles

Sphinx Nr. 53 - Lösung

Lösung:

420189749 = 7493

Lösung von Detlef Dierig:

Weil das Ergebnis 9-stellig ist, muss LUE > 464 sein.

(LUE)3 – LUE = ****RELUE – LUE = ****RE000, also durch 1000 teilbar.

Andererseits gilt x3 - x = x * (x2 – 1) = x (x – 1) (x + 1).

Damit haben wir drei aufeinanderfolgende Zahlen, in deren Primfaktor-Zerlegungen  dreimal die 2 und dreimal die 5 vorkommt. Die 2 muss entweder dreimal in x vorkommen oder x ist ungerade, dann ist (x-1)(x+1) immer durch 8 teilbar.

Bezüglich der 5 müssen alle drei Vorkommen in derselben Zahl liegen.

1. x ist ein Vielfaches von 125, x muss ungerade sein, da x sonst zu groß wäre. Es kommen also nur 625 und 875 in Frage.

624 * 625 * 626 = 244140 000 geht nicht.
874 * 875 * 876 = 669921 000 geht nicht.

2. x-1 ist ein Vielfaches von 125, es kommen 500, 625, 750 und 875 in Betracht.

500 * 501 * 502 = 125751 000 geht nicht.
625 scheidet aus, weil 626 nicht durch 8 teilbar.
750 * 751 * 752 = 423564 000 geht nicht.
875 scheidet aus, weil 876 nicht durch 8 teilbar.

3. x+1 ist ein Vielfaches von 125, es kommen 500, 625, 750 und 875 in Betracht.

498 * 499 * 500 = 124251 000 geht nicht.
623 * 624 * 625 = 242970 000 geht nicht.
748 * 749 * 750 = 420189 000 ist eine Lösung.
875 scheidet aus, weil 874 nicht durch 8 teilbar.

Also 420189749 =7493.