ABCDE und BACED sind Quadratzahlen, C+D und B+E sind aufeinander folgende Primzahlen. Um welche Zahlen handelt es sich?
ABCDE = 18769 BACED = 81796
ABCDE und BACED sind Quadratzahlen, C+D und B+E sind aufeinander folgende Primzahlen. Um welche Zahlen handelt es sich?
Die kleinste Primzahl hier 0+1=1, die größte Primzahl ist hier 8+9=17. Alle Primzahlen für diese Aufgabe:
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17
Eine Quadratzahl kann nur enden auf:
0, 1, 4, 5, 6, 9 (Einerstelle)
Ein z² mit 0 ≤ z ≤ 9 kann nur enden auf:
00, 01, 04, 09, 16, 25, 36, 49, 64, 81
Wegen (10x+y)² = 100x² + (20xy+y²) kann eine Quadratzahl größer als 10 nur enden auf:
00, 01, (21, 41, 61, 81), 04, (24, 44, 64, 84), 09, (29, 49, 69, 89), 16, (36, 56, 76, 96), 25
Für diese Aufgabe kommen nur solche "Endungen" in Betracht, deren Kehrwert auch eine Endung ist und die aus zwei verschiedenen Ziffern bestehen. Hier (16 und 61) sowie ( 69 und 96 )
Mit einer 6 lassen sich folgende obere Primzahlen bilden:
6+1=7 (entfällt für 16 und 61)
6+5=11
6+7=13
Mit der 1 muss sich benachbarte Primzahl bilden lassen:
1+6=7 (entfällt)
11, 13, 17 lassen sich nicht bilden.
Damit kommt das Paar (16 und 61) für Lösung nicht infrage.
Mit einer 9 lassen sich folgende Primzahlen bilden:
9+2=11
9+4=13
9+8=17
Folgende benachbarte Primzahlen sind hier für (D=6, E=9) möglich:
7 und 11 (D=6, E=9, C=1, B=2)
11 und 13 (D=6, E=9, C=5, B=4)
13 und 17 (D=6, E=9, C=7, B=8)
Folgende benachbarte Primzahlen sind hier für (D=9, E=6) möglich:
11 und 13 (D=9, E=6, C=2, B=7)
Für jede der 4 Möglichkeiten werden jetzt ABCDE und BACED gebildet und untersucht, ob sich ein A finden lässt, sodass beide Werte eine Quadratzahl sind:
A2169 und 2A196; A = 3, 4, 5, 7, 8 liefert keine Quadratzahlen
A4569 und 4A596; A = 1, 2, 3, 7, 8 liefert keine Quadratzahlen
A8769 und 8A796; A = 1, 2, 3, 4, 5 liefert 18769 und 81796 (beides sind Quadratzahlen)
A7296 und 7A269; A = 1, 3, 4, 5, 8 liefert keine Quadratzahlen
Einzige Lösung:
ABCDE = 18769 = 137² und
BACED = 81796 = 286² mit C+D = 13 sowie B+E = 17