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Rätsel und Puzzles

Sphinx Nr. 1 - Lösung

3952617 × 462193 = 1826871909081
 

Lösung von Johann Alexin

Jeder Buchstabe steht für eine Ziffer von 0 bis 9, keine Zahl beginnt mit einer 0, unterschiedliche Buchstaben bedeuten unterschiedliche Ziffern, ein Punkt steht für eine beliebige Ziffer.

  . . . . . A * A . . . . . .
-----------------------------
J A N V I E R
  . . . . . A E
    . A . . . . I
        . . . A . V
        . . . A . . N
            . . . . . A
            A . A . A . J
-------------------------
. . . . . . . . . . . . .

A = 3 ist vorgegeben. Rekonstruieren Sie die Multiplikation!

 

Schritt 1

A = 3 einsetzen. Nach dem Schema muss gelten A2 = R und 
daraus folgt R = 9.
Wir vervollständigen das Schema:
  . . . . . 3 * 3 . . . . . .
-----------------------------
J 3 N V I E 9
  . . . . . 3 E
    . 3 . . . . I
        . . . 3 . V
        . . . 3 . . N
            . . . . . 3
            3 . 3 . 3 . J
-------------------------
. . . . . . . . . . . . .

Schritt 2

„E“ bestimmen. 
Dazu seien x, y zwei unbekannte Ziffern:
  . . . . y 3 * 3 x . . . . .
-----------------------------
J 3 N V I E 9
  . . . . . 3 E
    . 3 . . . . I
        . . . 3 . V
        . . . 3 . . N
            . . . . . 3
            3 . 3 . 3 . J
-------------------------
. . . . . . . . . . . . .
 
Einerseits gilt
  3 * y = *E  (1)
und andererseits
  x * 3 = *E  (2)
wobei * ein Platzhalter ist (kann auch leer sein).
Wir schauen uns die Multiplikationstabelle von 3 an:
   3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
Alle Endziffer sind verschieden. Aus dieser Tatsache folgt mit 
(1) und (2)
  x = y (3)
Damit folgt
  x * y + r = *3
und zusammen mit (3)
  x2 + r = *3
Schaut man sich die Multiplikationstabelle von 3 an, so kann 
der Rest r : 0, 1 oder 2 sein. Aus der Tabelle der Quadrate
  1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
ersieht man, dass keine der Endziffer eine 3 ist. Damit kann der 
Rest r nur 1 oder 2 sein. Addiert man jedem Wert in der Tabelle 
der Quadrate eine 1, so ergibt sich bei jedem Wert wieder keine
Endziffer 3. Also bleibt nur
  r = 2.
übrig. Durch die Addition einer 2 zu jedem Wert in der Tabelle 
der Quadrate, ergibt sich, dass für x = 9 oder x = 1 die 
Endziffer 3 ausfällt: 
  92 + 2 = 83 oder 12 + 2 = 3. 
Wäre x = 1, so wäre E= 3, was nicht sein kann, weil A=3 schon belegt
ist. Also x = 9. Aus 3 . 9 = 27 ergibt sich
  E = 7
Wir vervollständigen das Schema:
  . . . . y 3 * 3 x . . . . .
-----------------------------
J 3 N V I 7 9
  . . . . . 3 7
    . 3 . . . . I
        . . . 3 . V
        . . . 3 . . N
            . . . . . 3
            3 . 3 . 3 . J
-------------------------
. . . . . . . . . . . . .

Schritt 3

Die vorletzte Ziffer von (39.....) bestimmen, also die Variable 
y in (39...y.). 
Laut dem Schema gilt:
  y * (....93) = (.....3)
D.h. y*3 = 3 (die Multiplikationstabelle von 3 enthält nur einen
Eintrag mit Endziffer 3). Also y = 1. 
Wir vervollständigen das Schema:
  . . . . 9 3 * 3 9 . . . 1 .
-----------------------------
J 3 N V I 7 9
  . . . . . 3 7
    . 3 . . . . I
        . . . 3 . V
        . . . 3 . . N
            . . . . 9 3
            3 . 3 . 3 . J
-------------------------
. . . . . . . . . . . . .

Schritt 4:

„J“ bestimmen. Gemäß dem Schema gilt:
  3 * (....93) = J3NVI79
sowie 
  9 * (....93) = (....37)
Aus 32 = 9 ergibt sich
  9 * (....93) = 3*3 * (....93) = 3 * (J3NVI79) = (....37)
Da 3*z für 0 <= z <= 9 höchstens den Wert 27 hat, muss wegen
  J3 = 3*z + r
gelten: J=1 oder J=2 oder J=3. Die Ziffer 3 ist schon verwendet,
daher bleibt nur J=1 oder J=2. Falls J=2 ist, so stößt man auf 
einen Widerspruch, denn:
1) eingesetzt J=2 ergibt: s * (....93) = (3.3.3.2). Aus der 
   Multiplikationstabelle von 3 siehe oben) folgt s = 4. 
   Also 4 * (....93) = (3.3.372).
2) Aus 4 * (...t93) = (3.3.372) folgt wiederum t=0 oder t=5
3) Ist t=0, so folgt aus 3 * (...093) = J3NVI79, also I=2. 
   Laut unserer Annahme war J = 2, also I=J und das ist ein 
   Widerspruch.
4) Ist t=5, dann ist 3 * (...593) = J3NVI79, also I=7. Da auch
   E=7 ist folgt I=E, und das ist ebenfalls ein Widerspruch.
Damit bleibt nur die Möglichkeit J=1 übrig.
Wir vervollständigen das Schema:
  . . . . 9 3 * 3 9 . . . 1 .
-----------------------------
1 3 N V I 7 9
  . . . . . 3 7
    . 3 . . . . I
        . . . 3 . V
        . . . 3 . . N
            . . . . 9 3
            3 . 3 . 3 . 1
--------------------------
. . . . . . . . . . . . .

Schritt 5

Die Ziffer x in (39...1x) bestimmen.
Aus der Multiplikation
  x * (....93) = (3.3.3.1)
folgt: 
  x * 3 = .1
Damit ist x=7 eindeutig.
Wir vervollständigen das Schema:
  . . . . 9 3 * 3 9 . . . 1 7
-----------------------------
1 3 N V I 7 9
  . . . . . 3 7
    . 3 . . . . I
        . . . 3 . V
        . . . 3 . . N
            . . . . 9 3
            3 . 3 . 3 5 1
-------------------------
. . . . . . . . . . . . .

Schritt 6

Die Unbekannte y in (...y93) bestimmen und anschließend I ausrechnen.
Aus der Multiplikation
  7 * (...y 93) = (3.3.351)
folgt
  7 * y + 6 = .3
Die eindeutige Lösung lautet y=1.
Ferner folgt aus der Multiplikation
  3 * (...193) = 13NVI79
eindeutig I=5.
Wir vervollständigen das Schema:
  . . . 1 9 3 * 3 9 . . . 1 7
-----------------------------
1 3 N V 5 7 9
  . . . . . 3 7
    . 3 . . . . 5
        . . . 3 . V
        . . . 3 . . N
            . . . 1 9 3
            3 . 3 . 3 5 1
-------------------------
. . . . . . . . . . . . .

Schritt 7

Die Variable z in (39z..17) bestimmen.
Aus 
  z * (...193) = (.3....5)
erhält man:
  z * 3 = .5
also eindeutig z = 5.
Wir vervollständigen das Schema:
  . . . 1 9 3 * 3 9 5 . . 1 7
-----------------------------
1 3 N V 5 7 9
  . . . . . 3 7
    . 3 . . 9 6 5
        . . . 3 . V
        . . . 3 . . N
            . . . 1 9 3
            3 . 3 . 3 5 1
-------------------------
. . . . . . . . . . . . .

Schritt 8

Die Unbekannte s aus (s..193) bestimmen.
Aus der Multiplikation
  7 * (s..193) = (3.3.351)
erhält man: 
  7 * s + r1 = (3.)
Damit kommen nur s=4 oder s=5 in Frage.
Falls s=5: man betrachte die Multiplikation 
  5 * (5..193) = (.3..965).
Dann ist 
  5 * 5 + r2 = (.3)
also 
  25 + r2 = (.3)
Der Rest r2 müsste dann r2 = 8 sein. Das ist unmöglich, denn für
für alle 0 <= x <= 9 und 0 <= Rest <= 10 gilt:
  5 * x + Rest < 80
 
Damit bleibt s = 4 als einziger Kandidat übrig.
Wir vervollständigen das Schema:
  4 . . 1 9 3 * 3 9 5 . . 1 7
-----------------------------
1 3 N V 5 7 9
  . . . . . 3 7
    . 3 . . 9 6 5
        . . . 3 . V
        . . . 3 . . N
            . . . 1 9 3
            3 . 3 . 3 5 1
-------------------------
. . . . . . . . . . . . .

Schritt 9

Bestimmen von V und der Variablen z aus (395z.17).
Aus dem Schema lässt sich ablesen:
  z * (4..193) = (...3.V)
das Produkt ergibt also eine sechsstellige Zahl (...3.V).
Da z * 4 eine einstellige Zahl ergeben muss, kommen als Kandidaten
für z nur 1 und 2 in Frage.
Wäre z=1, so wäre wegen 1 * (4..193) = (...3.V),
  V = 3 * 1 = 3 = A
Das ist laut Aufgabenstellung verboten. Daher bleibt z = 2 als 
einzige Möglichkeit, und man rechnet sofort nach, dass V = 6 ist. 
Wir vervollständigen das Schema:
  4 . . 1 9 3 * 3 9 5 2 . 1 7
---------------------------
1 3 N 6 5 7 9
  . . . . . 3 7
    . 3 . . 9 6 5
        . . . 3 8 6
        . . . 3 . . N
            . . . 1 9 3
            3 . 3 . 3 5 1
-------------------------
. . . . . . . . . . . . .

Schritt 10

Unbekannte y in (4.y193) bestimmen.
Laut Schema:
  3 * (4.y193) = (13N6579),
Aus 3 * y = 6 folgt y = 2.
Wir vervollständigen das Schema:
  4 . 2 1 9 3 * 3 9 5 2 . 1 7
-----------------------------
1 3 N 6 5 7 9
  . . . 9 7 3 7
    . 3 . 0 9 6 5
        . . 4 3 8 6
        . . . 3 . . N
            4 . 2 1 9 3
            3 . 3 5 3 5 1
-------------------------
. . . . . . . . . . . . .

Schritt 11

Bestimmen von x in (4x2193) sowie Berechnen von N.
Aus
  7 * (4x2193) = (3.35351)
lässt sich ablesen:
  7 * x + 1 = (.3)
also 
  7 * x = (.2)
für 0 <= x <= 9. Die eindeutige Lösung ist x = 6. Daraus errechnet
man einfach N = 8.
Wir vervollständigen das Schema:
  4 . 2 1 9 3 * 3 9 5 2 . 1 7
-----------------------------
1 3 8 6 5 7 9
  . . . 9 7 3 7
    . 3 . 0 9 6 5
        . . 4 3 8 6
        . . . 3 . . 8
            4 6 2 1 9 3
            3 . 3 5 3 5 1
-------------------------
. . . . . . . . . . . . .

Schritt 12

Die letzte fehlende Ziffer z in 3952z17 nun leicht zu berechnen. Aus
  z * 462193 = (...3..8)
folgt, dass für z * 3 = (.8) nur z = 6 in Frage kommt. 
Wir vervollständigen das Schema:
  4 . 2 1 9 3 * 3 9 5 2 6 1 7
-----------------------------
1 3 8 6 5 7 9
  . . . 9 7 3 7
    . 3 . 0 9 6 5
        . . 4 3 8 6
        . . . 3 . . 8
            4 6 2 1 9 3
            3 . 3 5 3 5 1
-------------------------
. . . . . . . . . . . . .

Schritt 13

Nun lässt sich das Schema komplett vervollständigen:
  4 6 2 1 9 3 * 3 9 5 2 6 1 7
-----------------------------
1 3 8 6 5 7 9
  4 1 5 9 7 3 7
    2 3 1 0 9 6 5
        9 2 4 3 8 6
        2 7 7 3 1 5 8
            4 6 2 1 9 3
            3 2 3 5 3 5 1
-------------------------
1 8 2 6 8 7 1 9 0 9 0 8 1

Lösung von Emma


 
   
Die bekannten Angaben A=3 und damit R=9 sind neben ein paar Hilfselementen – Zeilenangabe und Benennung der noch freien Stellen in den Faktoren mit kleinen Buchstaben – in der nebenstehenden Grafik aufgezeigt.

Als weitere Hilfsmittel notiere ich mal die 3er und die 7er Reihen:

3:    3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, (3)0
7:    7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, (7)0

Mit ' ü ' bezeichne im Folgenden immer einen Überlauf, der bei Multiplikationen mehrstelliger Zahlen immer wieder entsteht.

 

     

 
Wegen der 3 in Zeile 6, kann j nur 1 sein (siehe 3er Reihe).

Aus Zeile 1 folgt  a*3 + ü = J3 ,  wegen J ≠ 0  muss ü = 1 oder 2 sein.

wenn ü = 1, muss a*3 auf 2 enden
->  a = 4 (siehe 3er Reihe) 
->  J = 1,

wenn ü = 2, muss a*3 auf 1 enden
->  a = 7 (siehe 3er Reihe)
->  J = 2,

Wir betrachten zunächst a = 4  mit J = 1

Aus Zeile 7 folgt aus J = 1
->  k = 7 (siehe 3er Reihe)

Eine 6-stellige Zahl, die mit 4 beginnt kann nur 6-stellig bleiben wenn sie mit 1 oder 2 multipliziert wird. Das bedeutet für Zeile 4 : h kann nur 1 oder 2 sein. Mit h=1 würde aber V = 3 (Widerspruch zur Aufgabenstellung), also h = 2 und damit V=6
 

     
 

 
Zeile 4 betrachten: 2*e muss Überlauf = 1 erzeugen, weil sonst nebenstehende 3 nicht sein könnte. Ein Überlauf von 1 entsteht erst ab e ≥  5.

Wegen d*2 + 1 = _3 kann d nur 1 oder 6 sein.

Wegen  3*e = 3*f  = E   (Zeilen 1 und 2) gilt e=f

Zeile 1 betrachten:
e=5 ---> E = 5 ---> f=5  (Widerspruch Zeile 2,  die 3 entsteht nicht)
e=6 ---> E = 8 ---> f=6  (Widerspruch Zeile 2,  die 3 entsteht nicht)
e=7 ---> E = 1 ---> f=7  (Widerspruch Zeile 2,  die 3 entsteht nicht)
e=8 ---> E = 4 ---> f=8  (Widerspruch Zeile 2,  die 3 entsteht nicht)
e=9 ---> E = 7 ---> f=9  geht

Zeile 7 betrachten:

e=9 berücksichtigen,  (von oben  d=1 oder 6). d= 6 geht nicht, 3 entsteht nicht ->  d=1

Damit ergibt sich aus Zeile 1:  I=5  und aus Zeile 3 dann g=5 (siehe 3er Reihe)                  

     

 
Zeile 1:
Für c geht nur 2 (siehe 3er Reihe)

Zeile 3:
b*5 muss Überlauf 3 bringen, damit 3 entsteht, d.h. b = 6 oder 7.

bei b = 7 wird Überlauf in Zeile 1 zu groß, also b = 6.

Damit N=8  und damit i=6 (siehe 3er Reihe).
 

     
 
 

 
Alles in Grafik einarbeiten und Multiplikation lösen.
 

 
Jetzt muss nur noch der Fall a = 7  mit  J = 2 untersucht werden.

k=4  (7.Zeile und 3er Reihe)

Wegen 6-stellige Zahl mit a = 7 soll nach Multiplikation 6-stellig bleiben, geht in 4.Zeile nur h = 1.  Damit würde V = 3 (Widerspruch zur Aufgabenstellung)

Damit existiert nur eine Lösung!