. . . . . A × A . . . . . . ------------- J A N V I E R . . . . . A E . A . . . . I . . . A . V . . . A . . N . . . . . A A . A . A . J ------------------------- . . . . . . . . . . . . .
A=3 ist vorgegeben. Rekonstruieren Sie die Multiplikation!
A = 3 einsetzen. Nach dem Schema muss gelten A2 = R und daraus folgt R = 9.
Wir vervollständigen das Schema:
. . . . . 3 * 3 . . . . . . ----------------------------- J 3 N V I E 9 . . . . . 3 E . 3 . . . . I . . . 3 . V . . . 3 . . N . . . . . 3 3 . 3 . 3 . J ------------------------- . . . . . . . . . . . . .
„E“ bestimmen.
Dazu seien x, y zwei unbekannte Ziffern:
. . . . y 3 * 3 x . . . . . ----------------------------- J 3 N V I E 9 . . . . . 3 E . 3 . . . . I . . . 3 . V . . . 3 . . N . . . . . 3 3 . 3 . 3 . J ------------------------- . . . . . . . . . . . . .
Einerseits gilt
3 * y = *E (1)
und andererseits
x * 3 = *E (2)
wobei * ein Platzhalter ist (kann auch leer sein).
Wir schauen uns die Multiplikationstabelle von 3 an:
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
Alle Endziffer sind verschieden. Aus dieser Tatsache folgt mit (1) und (2)
x = y (3)
Damit folgt
x * y + r = *3
und zusammen mit (3)
x2 + r = *3
Schaut man sich die Multiplikationstabelle von 3 an, so kann der Rest r : 0, 1 oder 2 sein. Aus der Tabelle der Quadrate
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
ersieht man, dass keine der Endziffer eine 3 ist. Damit kann der Rest r nur 1 oder 2 sein. Addiert man jedem Wert in der Tabelle der Quadrate eine 1, so ergibt sich bei jedem Wert wieder keine Endziffer 3. Also bleibt nur
r = 2.
übrig. Durch die Addition einer 2 zu jedem Wert in der Tabelle der Quadrate, ergibt sich, dass für x = 9 oder x = 1 die Endziffer 3 ausfällt:
92 + 2 = 83 oder 12 + 2 = 3.
Wäre x = 1, so wäre E= 3, was nicht sein kann, weil A=3 schon belegt ist. Also x = 9. Aus 3 . 9 = 27 ergibt sich
E = 7
Wir vervollständigen das Schema:
. . . . y 3 * 3 x . . . . . ----------------------------- J 3 N V I 7 9 . . . . . 3 7 . 3 . . . . I . . . 3 . V . . . 3 . . N . . . . . 3 3 . 3 . 3 . J ------------------------- . . . . . . . . . . . . .
Die vorletzte Ziffer von (39.....) bestimmen, also die Variable y in (39...y.).
Laut dem Schema gilt:
y * (....93) = (.....3)
D.h. y*3 = 3 (die Multiplikationstabelle von 3 enthält nur einen Eintrag mit Endziffer 3). Also y = 1.
Wir vervollständigen das Schema:
. . . . 9 3 * 3 9 . . . 1 . ----------------------------- J 3 N V I 7 9 . . . . . 3 7 . 3 . . . . I . . . 3 . V . . . 3 . . N . . . . 9 3 3 . 3 . 3 . J ------------------------- . . . . . . . . . . . . .
„J“ bestimmen. Gemäß dem Schema gilt:
3 * (....93) = J3NVI79
sowie 9 * (....93) = (....37)
Aus 32 = 9 ergibt sich
9 * (....93) = 3*3 * (....93) = 3 * (J3NVI79) = (....37)
Da 3*z für 0 <= z <= 9 höchstens den Wert 27 hat, muss wegen
J3 = 3*z + r
gelten: J=1 oder J=2 oder J=3. Die Ziffer 3 ist schon verwendet, daher bleibt nur J=1 oder J=2. Falls J=2 ist, so stößt man auf einen Widerspruch, denn:
1) eingesetzt J=2 ergibt: s * (....93) = (3.3.3.2). Aus der Multiplikationstabelle von 3 siehe oben) folgt s = 4. Also 4 * (....93) = (3.3.372).
2) Aus 4 * (...t93) = (3.3.372) folgt wiederum t=0 oder t=5
3) Ist t=0, so folgt aus 3 * (...093) = J3NVI79, also I=2. Laut unserer Annahme war J = 2, also I=J und das ist ein Widerspruch.
4) Ist t=5, dann ist 3 * (...593) = J3NVI79, also I=7. Da auch E=7 ist folgt I=E, und das ist ebenfalls ein Widerspruch.
Damit bleibt nur die Möglichkeit J=1 übrig.
Wir vervollständigen das Schema:
. . . . 9 3 * 3 9 . . . 1 . ----------------------------- 1 3 N V I 7 9 . . . . . 3 7 . 3 . . . . I . . . 3 . V . . . 3 . . N . . . . 9 3 3 . 3 . 3 . 1 -------------------------- . . . . . . . . . . . . .
Die Ziffer x in (39...1x) bestimmen.
Aus der Multiplikation
x * (....93) = (3.3.3.1)
folgt:
x * 3 = .1
Damit ist x=7 eindeutig.
Wir vervollständigen das Schema:
. . . . 9 3 * 3 9 . . . 1 7 ----------------------------- 1 3 N V I 7 9 . . . . . 3 7 . 3 . . . . I . . . 3 . V . . . 3 . . N . . . . 9 3 3 . 3 . 3 5 1 ------------------------- . . . . . . . . . . . . .
Die Unbekannte y in (...y93) bestimmen und anschließend I ausrechnen.
Aus der Multiplikation
7 * (...y 93) = (3.3.351)
folgt
7 * y + 6 = .3
Die eindeutige Lösung lautet y=1.
Ferner folgt aus der Multiplikation
3 * (...193) = 13NVI79
eindeutig I=5.
Wir vervollständigen das Schema:
. . . 1 9 3 * 3 9 . . . 1 7 ----------------------------- 1 3 N V 5 7 9 . . . . . 3 7 . 3 . . . . 5 . . . 3 . V . . . 3 . . N . . . 1 9 3 3 . 3 . 3 5 1 ------------------------- . . . . . . . . . . . . .
Die Variable z in (39z..17) bestimmen.
Aus
z * (...193) = (.3....5)
erhält man:
z * 3 = .5
also eindeutig z = 5.
Wir vervollständigen das Schema:
. . . 1 9 3 * 3 9 5 . . 1 7 ----------------------------- 1 3 N V 5 7 9 . . . . . 3 7 . 3 . . 9 6 5 . . . 3 . V . . . 3 . . N . . . 1 9 3 3 . 3 . 3 5 1 ------------------------- . . . . . . . . . . . . .
Die Unbekannte s aus (s..193) bestimmen.
Aus der Multiplikation
7 * (s..193) = (3.3.351)
erhält man:
7 * s + r1 = (3.)
Damit kommen nur s=4 oder s=5 in Frage.
Falls s=5: man betrachte die Multiplikation
5 * (5..193) = (.3..965).
Dann ist
5 * 5 + r2 = (.3)
also
25 + r2 = (.3)
Der Rest r2 müsste dann r2 = 8 sein. Das ist unmöglich, denn für für alle 0 <= x <= 9 und 0 <= Rest <= 10 gilt:
5 * x + Rest < 80
Damit bleibt s = 4 als einziger Kandidat übrig.
Wir vervollständigen das Schema:
4 . . 1 9 3 * 3 9 5 . . 1 7 ----------------------------- 1 3 N V 5 7 9 . . . . . 3 7 . 3 . . 9 6 5 . . . 3 . V . . . 3 . . N . . . 1 9 3 3 . 3 . 3 5 1 ------------------------- . . . . . . . . . . . . .
Bestimmen von V und der Variablen z aus (395z.17).
Aus dem Schema lässt sich ablesen:
z * (4..193) = (...3.V)
das Produkt ergibt also eine sechsstellige Zahl (...3.V).
Da z * 4 eine einstellige Zahl ergeben muss, kommen als Kandidaten für z nur 1 und 2 in Frage.
Wäre z=1, so wäre wegen 1 * (4..193) = (...3.V),
V = 3 * 1 = 3 = A
Das ist laut Aufgabenstellung verboten. Daher bleibt z = 2 als einzige Möglichkeit, und man rechnet sofort nach, dass V = 6 ist.
Wir vervollständigen das Schema:
4 . . 1 9 3 * 3 9 5 2 . 1 7 --------------------------- 1 3 N 6 5 7 9 . . . . . 3 7 . 3 . . 9 6 5 . . . 3 8 6 . . . 3 . . N . . . 1 9 3 3 . 3 . 3 5 1 ------------------------- . . . . . . . . . . . . .
Unbekannte y in (4.y193) bestimmen.
Laut Schema:
3 * (4.y193) = (13N6579),
Aus 3 * y = 6 folgt y = 2.
Wir vervollständigen das Schema:
4 . 2 1 9 3 * 3 9 5 2 . 1 7 ----------------------------- 1 3 N 6 5 7 9 . . . 9 7 3 7 . 3 . 0 9 6 5 . . 4 3 8 6 . . . 3 . . N 4 . 2 1 9 3 3 . 3 5 3 5 1 ------------------------- . . . . . . . . . . . . .
Bestimmen von x in (4x2193) sowie Berechnen von N.
Aus
7 * (4x2193) = (3.35351)
lässt sich ablesen:
7 * x + 1 = (.3)
also
7 * x = (.2)
für 0 <= x <= 9. Die eindeutige Lösung ist x = 6. Daraus errechnet man einfach N = 8.
Wir vervollständigen das Schema:
4 . 2 1 9 3 * 3 9 5 2 . 1 7 ----------------------------- 1 3 8 6 5 7 9 . . . 9 7 3 7 . 3 . 0 9 6 5 . . 4 3 8 6 . . . 3 . . 8 4 6 2 1 9 3 3 . 3 5 3 5 1 ------------------------- . . . . . . . . . . . . .
Die letzte fehlende Ziffer z in 3952z17 nun leicht zu berechnen. Aus
z * 462193 = (...3..8)
folgt, dass für z * 3 = (.8) nur z = 6 in Frage kommt.
Wir vervollständigen das Schema:
4 . 2 1 9 3 * 3 9 5 2 6 1 7 ----------------------------- 1 3 8 6 5 7 9 . . . 9 7 3 7 . 3 . 0 9 6 5 . . 4 3 8 6 . . . 3 . . 8 4 6 2 1 9 3 3 . 3 5 3 5 1 ------------------------- . . . . . . . . . . . . .
Nun lässt sich das Schema komplett vervollständigen:
4 6 2 1 9 3 * 3 9 5 2 6 1 7 ----------------------------- 1 3 8 6 5 7 9 4 1 5 9 7 3 7 2 3 1 0 9 6 5 9 2 4 3 8 6 2 7 7 3 1 5 8 4 6 2 1 9 3 3 2 3 5 3 5 1 ------------------------- 1 8 2 6 8 7 1 9 0 9 0 8 1
Die bekannten Angaben A=3 und damit R=9 sind neben ein paar Hilfselementen – Zeilenangabe und Benennung der noch freien Stellen in den Faktoren mit kleinen Buchstaben – in der nebenstehenden Grafik aufgezeigt. Als weitere Hilfsmittel notiere ich mal die 3er und die 7er Reihen: 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, (3)0 Mit ' ü ' bezeichne im Folgenden immer einen Überlauf, der bei Multiplikationen mehrstelliger Zahlen immer wieder entsteht.
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Wegen der 3 in Zeile 6, kann j nur 1 sein (siehe 3er Reihe). Aus Zeile 1 folgt a*3 + ü = J3 , wegen J ≠ 0 muss ü = 1 oder 2 sein. wenn ü = 1, muss a*3 auf 2 enden wenn ü = 2, muss a*3 auf 1 enden Wir betrachten zunächst a = 4 mit J = 1 Aus Zeile 7 folgt aus J = 1 Eine 6-stellige Zahl, die mit 4 beginnt kann nur 6-stellig bleiben wenn
sie mit 1 oder 2 multipliziert wird. Das bedeutet für Zeile 4 : h kann nur
1 oder 2 sein. Mit h=1 würde aber V = 3 (Widerspruch zur
Aufgabenstellung), also h = 2 und damit V=6 |
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Zeile 4 betrachten: 2*e muss Überlauf = 1 erzeugen, weil sonst
nebenstehende 3 nicht sein könnte. Ein Überlauf von 1 entsteht erst ab e ≥
5. Wegen d*2 + 1 = _3 kann d nur 1 oder 6 sein. Wegen 3*e = 3*f = E (Zeilen 1 und 2) gilt e=f Zeile 1 betrachten: Zeile 7 betrachten: e=9 berücksichtigen, (von oben d=1 oder 6). d= 6 geht nicht, 3 entsteht nicht -> d=1 Damit ergibt sich aus Zeile 1: I=5 und aus Zeile 3 dann g=5 (siehe 3er Reihe) |
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Zeile 1: Für c geht nur 2 (siehe 3er Reihe) Zeile 3: bei b = 7 wird Überlauf in Zeile 1 zu groß, also b = 6. Damit N=8 und damit i=6 (siehe 3er Reihe). |
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Alles in Grafik einarbeiten und Multiplikation lösen. |
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Jetzt muss nur noch der Fall a = 7 mit J = 2 untersucht werden. k=4 (7.Zeile und 3er Reihe) Wegen 6-stellige Zahl mit a = 7 soll nach Multiplikation 6-stellig bleiben, geht in 4.Zeile nur h = 1. Damit würde V = 3 (Widerspruch zur Aufgabenstellung) Damit existiert nur eine Lösung! |