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Polyominos

Beispiel mit ausführlicher Lösung

Markieren Sie in dem Diagramm Polyominos (d.h. horizontal oder vertikal zusammenhängende Bereiche von zwei oder mehr Feldern) mit der Summe 10. Minimieren Sie die Anzahl der dabei nicht verwendeten Felder.

 

Wir wollen nun eine Aufgabe gemeinsam lösen:

 

     
  Betrachten wie die beiden gelben Felder. Da die Summe von 5 und 6 größer als 10 ist, können die beiden Felder nicht zum gleichen Polyomino gehören und wir können eine Grenze zwischen den beiden Feldern einzeichnen.

Nach dem selben Prinzip zeichnen wir auch andere Grenzen zwischen Feldern ein, die nicht zum gleichen Polyomino gehören können.

     
  Betrachten wir nun die blaue 8. Mit der blauen 1 ergibt sich die Summe 9; aber es gibt keinen weiteren Nachbarn, mit dem sich ein Polyomino mit der Summe 10 bilden ließe. Die blaue 8 und die blaue 1 können also  nicht zum gleichen Polyomino gehöre und wir können eine Grenze zwischen den beiden Feldern einzeichnen.

Die Argumentation für alle eingezeichneten blauen Grenzen ist ähnlich; beispielsweise lassen sich zur grünen 7 zwar zwei weitere Felder (die grünen 1en) hinzufügen, dann geht es aber nicht weiter, um auf die Summe 10 zu kommen.

     
  Betrachten wir nun möglichst abgeschlossene Teilbereiche, beispielsweise den links unten. Allzuviele Möglichkeiten gibt es nicht, und mit den eingezeichneten Polyominos bleibt nur ein Feld übrig, das nicht zu einem Polyomino gehört. besser geht es nicht.

 

     
  Wir betrachten nun die linke obere Ecke und finden wieder eine Konfiguration, bei der nur ein einziges Feld übrig bleibt, das wir keinem 10er-Ployomino zuordnen können.
     
  Nun nehmen wir uns die rechte obere Ecke vor, das schaffen wir, ohne dass ein Feld übrig bleibt.
     
  Bei der rechten untere Ecke bleibt wieder ein Feld übrig.
     
  Der mittlere Bereich ist am schwierigsten, aber auch da finden wir mit ein bisschen Probieren eine optimale Lösung.