Von Emma:
In diesem Haus wohnen nur 3 Familien.
1) 2 Eltern, 1 Junge
2) 2 Eltern, 2 Mädchen, 1 Junge
3) 2 Eltern, 2 Mädchen, 3 Jungen
Wegen F < M < J < E < K und E = 2*F müssen es mindestens 3 Familien sein.
3 < 4 < 5 < 6 < 9
könnte Lösung sein, prüfen ob Verteilung passt: Wegen: alle Familien unterschiedliche
Anzahl von Kindern und eine Familie mehr Kinder als alle anderen zusammen, geht
nur 1, 3, 5 wegen: jedes Mädchen hat mindestens einen Bruder, kann das Einzelkind
nur ein Junge sein wegen: Jedes Mädchen höchstens eine Schwester, sind die 4 Mädchen
auf die beiden anderen Familien verteilt.
Von Jürgen:
Es sei:
n = Anzahl der Familien,
m = Anzahl der Mädchen,
b = Anzahl der Buben.
Die 4 Aussagen bedeuten:
m + b > 2n
2n > b
b > m
m > n
zusammengefasst ist das:
n < m < b < 2n < m + b <= 4n - 3
Der letzte Teil der Ungleichung ergibt sich folgendermaßen: wir haben es mit
positiven ganzen Zahlen zu tun, also ist b höchstens 2n–1 und m höchstens 2n–2.
Weil zwischen n und 2n mindestens 2 ganze Zahlen liegen, muss n mindestens 3 sein.
Nun kommt die Aussage „Eine Familie hat mehr Kinder als alle anderen zusammen“
ins Spiel und wir benötigen die bekannte Formel 1+2+3+…+z=z*(z+1)/2. Die Familien
mit den wenigen Kindern haben mindestens (n-1)*n/2 Kinder (die Formel mit z=n-1),
weil die kinderreiche Familie mehr hat, ergibt sich
m + b >= (n-1)*n+1
Das ergibt mit den letzten Teil der oberen Ungleichung
(n - 1) * n + 1 <= 4n-3
n*n – 5n + 4 <= 0
Als quadratische Gleichung hat das die Lösungen 1 und 4. Da die Parabel nach
oben offen ist, folgt 1 <= n <= 4.
Also kann n nur 4 oder 3 sein.
Der Fall n=4. Es sind mindestens 13 Kinder, da geht nur b = 7 und m = 6. Es
müssen 1, 2, 3 und 7 Kinder sein. Für Einzelkinder kommt nur ein Junge in Betracht.
Da es höchsten 2 Mädchen pro Familie gibt, teilen sich die Mädchen in 3 mal 2
auf. Weil da aber immer mindestens ein Junge dazu kommt, geht das mit 2 Kindern
nicht, also geht n=4 nicht.
Der Fall n=3. Da geht nur b=5 und m=4. Gäbe es keine Familie mit einem Kind,
so müssten es mindestens 11 Kinder sein. Also hat eine Familie 1 Kind, also einen
Jungen. Die 4 Mädchen verteilen sich als 2 mal 2. Weil mindestens je ein Junge
dazu kommen muss und alle verschieden viele Kinder haben, kommen 1 und 3 Jungen
dazu.
Eindeutige Lösung:
3 Familien, 1 Junge, 2 Mädchen und 1 Junge, 2 Mädchen und 3 Jungen.
