ALL EN FR ES IT

Logo

≡ ► ◄ ▲

Das ehrenwerte Haus

Mathematik Nr. 160

In einem Haus wohnen einige Familien. Von diesen weiß man, dass es

• mehr Kinder als Eltern
• mehr Eltern als Buben
• mehr Buben als Mädchen
• mehr Mädchen als Familien sind.

Keine Familie ist kinderlos, jede hat eine verschiedene Anzahl Kinder. Jedes Mädchen hat mindestens einen Bruder und höchstens eine Schwester. Eine Familie hat mehr Kinder als alle anderen zusammen.

Wie viele Familien wohnen in diesem Haus und wie sind sie zusammengesetzt?

Lösung anzeigen

Von Emma:

In diesem Haus wohnen nur 3 Familien.

1) 2 Eltern, 1 Junge
2) 2 Eltern, 2 Mädchen, 1 Junge
3) 2 Eltern, 2 Mädchen, 3 Jungen

Wegen F < M < J < E < K und E = 2*F müssen es mindestens 3 Familien sein.

3 < 4 < 5 < 6 < 9

könnte Lösung sein, prüfen ob Verteilung passt: Wegen: alle Familien unterschiedliche Anzahl von Kindern und eine Familie mehr Kinder als alle anderen zusammen, geht nur 1, 3, 5 wegen: jedes Mädchen hat mindestens einen Bruder, kann das Einzelkind nur ein Junge sein wegen: Jedes Mädchen höchstens eine Schwester, sind die 4 Mädchen auf die beiden anderen Familien verteilt.

Von Jürgen:

Es sei:

n = Anzahl der Familien,
m = Anzahl der Mädchen,
b = Anzahl der Buben.

Die 4 Aussagen bedeuten:

m + b > 2n
2n > b
b > m
m > n

zusammengefasst ist das:

n < m < b < 2n < m + b <= 4n - 3

Der letzte Teil der Ungleichung ergibt sich folgendermaßen: wir haben es mit positiven ganzen Zahlen zu tun, also ist b höchstens 2n–1 und m höchstens 2n–2. Weil zwischen n und 2n mindestens 2 ganze Zahlen liegen, muss n mindestens 3 sein.

Nun kommt die Aussage „Eine Familie hat mehr Kinder als alle anderen zusammen“ ins Spiel und wir benötigen die bekannte Formel 1+2+3+…+z=z*(z+1)/2. Die Familien mit den wenigen Kindern haben mindestens (n-1)*n/2 Kinder (die Formel mit z=n-1), weil die kinderreiche Familie mehr hat, ergibt sich

m + b >= (n-1)*n+1

Das ergibt mit den letzten Teil der oberen Ungleichung

(n - 1) * n + 1 <= 4n-3
n*n – 5n + 4 <= 0

Als quadratische Gleichung hat das die Lösungen 1 und 4. Da die Parabel nach oben offen ist, folgt 1 <= n <= 4.

Also kann n nur 4 oder 3 sein.

Der Fall n=4. Es sind mindestens 13 Kinder, da geht nur b = 7 und m = 6. Es müssen 1, 2, 3 und 7 Kinder sein. Für Einzelkinder kommt nur ein Junge in Betracht. Da es höchsten 2 Mädchen pro Familie gibt, teilen sich die Mädchen in 3 mal 2 auf. Weil da aber immer mindestens ein Junge dazu kommt, geht das mit 2 Kindern nicht, also geht n=4 nicht.

Der Fall n=3. Da geht nur b=5 und m=4. Gäbe es keine Familie mit einem Kind, so müssten es mindestens 11 Kinder sein. Also hat eine Familie 1 Kind, also einen Jungen. Die 4 Mädchen verteilen sich als 2 mal 2. Weil mindestens je ein Junge dazu kommen muss und alle verschieden viele Kinder haben, kommen 1 und 3 Jungen dazu.

Eindeutige Lösung:

3 Familien, 1 Junge, 2 Mädchen und 1 Junge, 2 Mädchen und 3 Jungen.