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Eine große Party

Mathematik Nr. 158

Bei einer Party sind zwischen 10 und 100 Leute anwesend. Einige gehen frühzeitig weg. Am Ende der Party schüttelt jeder der noch anwesenden jedem anderen die Hand. Insgesamt gab es genau die halbe Anzahl von der Händeschütteln wie wenn alle Partygäste bis zum ende geblieben wären.

Wie viele Leute waren bei der Party anwesend ? Wie viele sind frühzeitig gegangen?

Lösung anzeigen

Von Rainer Rosenthal:

Bei einer Party sind a Leute anwesend, 10a100. Einige gehen vor dem Ende der Party weg. Es bleiben b Leute am Ende der Party übrig, b<a. Jeder schüttelt jedem die Hand: B = b(b-1)/2 ist die Anzahl der Handshakes. Wären alle geblieben, dann wären es A = a(a-1)/2 Handshakes gewesen, und es wäre A=2xB gewesen.

Gesucht sind also ganze Zahlen a und b mit den obigen Bedingungen, d.h. a(a-1) = 2b(b-1).

Für a=21, b=15 gilt: A = 21(21-1)/2 = 210 = 15(15-1) = 2xB.

Es waren also 21 Leute bei der Party anwesend, wovon 6 im Laufe der Party weggegangen sind.

Von Emma:

Ich weiß, dass das Händeschütteln bei n Personen genau n*(n-1)/2 ist oder auch (n-1) + (n-2) + ... + 1. Habe einfach mit dem Taschenrechner bei 10 Personen angefangen und das Händeschütteln und dazu gleich das Doppelte notiert. Bei 21 erhielt ich bereits das Ergebnis. Zwar kein eleganter Lösungsweg, aber er hat zum Ziel geführt. Kann somit auch nicht ausschließen, ob es noch weitere Lösungen geben könnte, aber das war ja auch nicht gefragt.

Von Gerald Tarnai:

n Leute sind anwesend, x gehen frühzeitig weg (x < 10); N = Zahl des Händeschüttelns.

Alle n schütteln einander die Hand:

Die am Ende Anwesenden schütteln sich die Hand:

Gleichsetzen:

n2 – n = 2(n2 – nx – nx + x2 – n + x)

n2 – n = 2n2 – 4nx + 2x2 – 2n + 2x

n2 – n – 4nx + 2x2 + 2x = 0

n2 – n(1 + 4x) + 2x2 + 2x = 0

Wurzelzähler: 1 + 8x + 16x2 – 8x2 – 8x = 8x2 + 1 ... soll eine Quadratzahl sein. Dies ist nur möglich für x=1 und x=6.

x = 1: Die Wurzel ergibt 3/2, daher ist n = 5/2 ± 3/2 - < 10

x = 6: Die Wurzel ergibt 17(2, daher ist n = 25/2 ± 17/2 -> n = 21

Antwort: Auf der Party waren 21 Personen. 6 gingen frühzeitig weg.