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Urlaub am Weitwanderweg

Mathematik Nr. 154

Hans plant eine längere Fußwanderung auf einem Weitwanderweg, der im Allgemeinen in Nord-Süd-Richtung verläuft. Er startet in einer kleinen Ortschaft ungefähr in der Mitte des Weitwanderweges und wirft eine Münze, um zu entscheiden, ob er nach Norden oder nach Süden wandern soll. Er wandert dann bis zur nächsten Ortschaft und übernachtet dort.

Jeden Morgen wirft er wieder eine Münze und wandert ja nach Ergebnis des Münzwurfs entweder nach Norden oder nach Süden. Auf seiner Wanderung besucht er natürlich einige Orte mehrmals, unter Umständen auch den Ort, an dem er seine Wanderung begonnen hat.

Wieder zu Hause erzählt er Franz, wie er seinen Urlaub verbraucht hat und dass er seine Wanderung genau dort beendet hat, wo er sie begonnen hat. Franz möchte nun wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist.

»Die Wahrscheinlichkeit ist genau 95% der Wahrscheinlichkeit, die dieses Ereignis hätte, wenn meine Wanderung um zwei Tage kürzer gewesen wäre«, antwortet Hans.

Wie groß ich die Wahrscheinlichkeit, dass Hans seine Wanderung genau dort beendet hat, wo er sie begonnen hat? Wie lange war Hans unterwegs?

Lösung anzeigen

Be n Tagen (n gerade) gibt es 2n mögliche Wanderungen, von denen genau

                 n!
   C(n,n/2) = --------- 
              ((n/2)!)2

am Ausgangspunkt enden. Dies deshalb, weil es 2n mögliche Münzwurf-Kombinationen gibt und genau die hälfte davon Kopf sein müssen, um wieder am Ausgangspunkt zu landen.

Die Wahrscheinlichkeit, wieder am Ausgangspunkt zu landen, ist

                n!
P(n)   = ----------------
         ((n/2)!)^2 * 2^n

Für n=2 Tage die Wahrscheinlichkeit ist

               (n-2)!
P(n-2) = ----------------------
         ((n/2-1)!)^2 * 2^(n-2)

Die Division ergibt:

P(n)      n*(n-1)      n-1
------ = ----------- = --- = 0.95  ->  n = 20
P(n-2)   ((n/2)^2*4)    n

Die Wanderung hat also 20 Tage gedauert und die Wahrscheinlichkeit, die Wanderung am Ausgangspunkt zu beenden, ist P(20) = 46189/262144 0,17