Mathematik Nr. 151
Gegeben sind 300 Äpfel, von denen keiner mehr als dreimal soviel wiegt wie jeder andere. (Anders ausgedrückt: Der schwerste Apfel ist höchstens drei mal so schwer wie der leichteste.)
Kann man die Äpfel in Vierergruppen aufteilen, sodass keine Vierergruppe mehr als 3/2 mal soviel wiegt wie jede andere Vierergruppe?
Zunächst ordnet man die Äpfel aufsteigend nach Gewicht (A1≤A2.....≤A299≤A300) und normiert auf A1=1. Dann bildet man Gruppen nach folgendem Schema:
G1 A1 A76 A151 A226 G2 A2 A77 A152 A227 ... G74 A74 A149 A224 A299 G75 A75 A150 A225 A300
Damit ist sichergestellt, dass G1 ≤ G2 ≤.....≤ G74 ≤ G75 und man muss nur noch zeigen, dass
G75/G1 ≤ 3/2
Man ersetze:
A1 = 1 A75 = 1+a A76 = 1+b A150 = 1+c A151 = 1+d A225 = 1+e A226 = 1+f A300 = 1+g = 3-z -> g = 2-z
mit
0 ≤a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e ≤ f ≤ (2-z) ≤ 2
Dann gilt:
0 ≤ a+c+e+2-z bzw. -2 ≤ a+c+e-zb+d+f ≤ 6 weil b≤2 und d≤2 und f≤2a+c+e-z ≤ b+d+f weil a≤b und c≤d und e≤f und z positiv
Wir kombinieren die drei Ungleichungen:
-2 ≤ a+c+e-z ≤ b+d+f ≤ 6
Endlich können wir dividieren:
G75 6 + (a+c+e-z) 6 --- = -------------- ≤ - G1 4 + (b+d+f) 4