Gegeben sind 300 Äpfel, von denen keiner mehr als dreimal soviel wiegt wie jeder
andere. (Anders ausgedrückt: Der schwerste Apfel ist höchstens drei mal so schwer
wie der leichteste.)
Kann man die Äpfel in Vierergruppen aufteilen, sodass keine Vierergruppe mehr
als 3/2 mal soviel wiegt wie jede andere Vierergruppe?
Zunächst ordnet man die Äpfel aufsteigend nach Gewicht (A1≤A2.....≤A299≤A300)
und normiert auf A1=1. Dann bildet man Gruppen nach folgendem Schema:
G1 A1 A76 A151 A226
G2 A2 A77 A152 A227
...
G74 A74 A149 A224 A299
G75 A75 A150 A225 A300
Damit ist sichergestellt, dass G1 ≤ G2 ≤.....≤ G74 ≤ G75 und man muss nur noch
zeigen, dass
G75/G1 ≤ 3/2
Man ersetze:
A1 = 1
A75 = 1+a
A76 = 1+b
A150 = 1+c
A151 = 1+d
A225 = 1+e
A226 = 1+f
A300 = 1+g = 3-z -> g = 2-z
mit
0 ≤a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e ≤ f ≤ (2-z) ≤ 2
Dann gilt:
0 ≤ a+c+e+2-z bzw.
-2 ≤ a+c+e-z
b+d+f ≤ 6 weil b≤2 und d≤2 und f≤2
a+c+e-z ≤ b+d+f weil a≤b und c≤d und e≤f und z positiv
Wir kombinieren die drei Ungleichungen:
-2 ≤ a+c+e-z ≤ b+d+f ≤ 6
Endlich können wir dividieren:
G75 6 + (a+c+e-z) 6
--- = -------------- ≤ -
G1 4 + (b+d+f) 4
