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300 Äpfel

Mathematik Nr. 151

Gegeben sind 300 Äpfel, von denen keiner mehr als dreimal soviel wiegt wie jeder andere. (Anders ausgedrückt: Der schwerste Apfel ist höchstens drei mal so schwer wie der leichteste.)

Kann man die Äpfel in Vierergruppen aufteilen, sodass keine Vierergruppe mehr als 3/2 mal soviel wiegt wie jede andere Vierergruppe?

Lösung anzeigen

Zunächst ordnet man die Äpfel aufsteigend nach Gewicht (A1≤A2.....≤A299≤A300) und normiert auf A1=1. Dann bildet man Gruppen nach folgendem Schema:

G1  A1  A76  A151 A226
G2  A2  A77  A152 A227
...
G74 A74 A149 A224 A299
G75 A75 A150 A225 A300

Damit ist sichergestellt, dass G1 ≤ G2 ≤.....≤ G74 ≤ G75 und man muss nur noch zeigen, dass

G75/G1 ≤ 3/2

Man ersetze:

A1   = 1
A75  = 1+a
A76  = 1+b
A150 = 1+c
A151 = 1+d
A225 = 1+e
A226 = 1+f
A300 = 1+g = 3-z  ->  g = 2-z

mit

0 ≤a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e ≤ f ≤ (2-z) ≤ 2

Dann gilt:

 0 ≤ a+c+e+2-z   bzw.  
-2 ≤ a+c+e-z
b+d+f ≤ 6        weil  b≤2 und d≤2 und f≤2
a+c+e-z ≤ b+d+f  weil  a≤b und c≤d und e≤f und z positiv

Wir kombinieren die drei Ungleichungen:

-2 ≤ a+c+e-z ≤ b+d+f ≤ 6

Endlich können wir dividieren:

G75    6 + (a+c+e-z)   6
--- = -------------- ≤ -
G1     4 +  (b+d+f)    4