Mathematik Nr. 148 - Der Wanderer und die Meilensteine [janko.at]

Ein Wanderer geht mit konstanter Geschwindigkeit eine gerade Strasse entlang. Er sieht einen Meilenstein, dessen Inschrift aus zwei Ziffern besteht. Nach einer Stunde sieht er einen weiteren Meilenstein, dessen Inschrift aus denselben zwei Ziffern besteht, aber in umgekehrter Reihenfolge. Nach einer weiteren Stunde sieht er dann noch einen Meilenstein, dessen Inschrift aus drei Ziffern besteht. Die beiden Ziffern der ersten beiden Meilensteine kommen auch auf dem dritten Meilenstein vor.

Die Geschwindigkeit des Wanderers war 4,5 km/h, und auf den Meilensteinen standen die Zahlen 1,6 km, 6,1 km und 10,6 km.

(I)
Stein1 = 10a+b mit 1<=a<=9 und 0<=b<=9 und a != b
Stein2 = 10b+a mit 0<=a<=9 und 1<=b<=9; es folgt 1<=a,b<=9
Stein3 = stein2 + (stein2-stein1)
       = 2*stein2 - stein1
       = 2*(10b+a) - (10a+b)
       = 20b+2a - 10a-b
       = 19b-8a

(II)
19*4+8*3 = 100 <= stein3 <= 19*9+8*9 = 243

Es gilt weiterhin:

19b-8a = 100a+10b+c (0 <= c <= 9)
c = 9b-108a
  => wegen 0 <= 9b-108a (gilt fuer kein b)
  => keine Lösung

19b-8a = 100a+10c+b (0 <= c <= 9)
c = 18b-108a => wegen 0 <= 18b-108a <= 9 gilt a = 1 (18*9=168)
  => wegen 0 <= 18b-108a gilt a = 1
  => wegen 18b-108a <= 9 gilt b <= 6 ((108+9)/18 = 6,5)
  => Lösung: a=1, b=6 (wegen 19b-8a > 100 => b > 108/19 => b > 5)

19b-8a = 100b+10a+c (0 <= c <= 9)
  => wegen 0 <= -81b-18a
  => keine Lösung

19b-8a = 100b+10c+a (0 <= c <= 9)
  => wegen 0 <= -81b-9a
  => keine Lösung

19b-8a = 100c+10b+a (1 <= c <= 2 wegen (II))
  => wegen 1 <= 9b-9a gilt b-a >= 1/9,
     es folgt b-a > 1/9, 
     es folgt b-a >= 1
  => wegen 9b-9a <= 2 gilt b-a <= 2/9, 
     es folgt b-a < 2/9, 
     es folgt b-a <= 0
  => keine Lösung

19b-8a = 100c+10a+b (1 <= c <= 2 wegen (II))
  => wegen 1 <= 18b-18a <= 2, siehe oben
  => keine Lösung

Der Wanderer und die Meilensteine

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