Ein Wanderer geht mit konstanter Geschwindigkeit eine gerade Strasse entlang.
Er sieht einen Meilenstein, dessen Inschrift aus zwei Ziffern besteht. Nach einer
Stunde sieht er einen weiteren Meilenstein, dessen Inschrift aus denselben zwei
Ziffern besteht, aber in umgekehrter Reihenfolge. Nach einer weiteren Stunde sieht
er dann noch einen Meilenstein, dessen Inschrift aus drei Ziffern besteht. Die
beiden Ziffern der ersten beiden Meilensteine kommen auch auf dem dritten Meilenstein
vor.
Die Geschwindigkeit des Wanderers war 4,5 km/h, und auf den Meilensteinen standen
die Zahlen 1,6 km, 6,1 km und 10,6 km.
(I)
Stein1 = 10a+b mit 1<=a<=9 und 0<=b<=9 und a != b
Stein2 = 10b+a mit 0<=a<=9 und 1<=b<=9; es folgt 1<=a,b<=9
Stein3 = stein2 + (stein2-stein1)
= 2*stein2 - stein1
= 2*(10b+a) - (10a+b)
= 20b+2a - 10a-b
= 19b-8a
(II)
19*4+8*3 = 100 <= stein3 <= 19*9+8*9 = 243
Es gilt weiterhin:
19b-8a = 100a+10b+c (0 <= c <= 9)
c = 9b-108a
=> wegen 0 <= 9b-108a (gilt fuer kein b)
=> keine Lösung
19b-8a = 100a+10c+b (0 <= c <= 9)
c = 18b-108a => wegen 0 <= 18b-108a <= 9 gilt a = 1 (18*9=168)
=> wegen 0 <= 18b-108a gilt a = 1
=> wegen 18b-108a <= 9 gilt b <= 6 ((108+9)/18 = 6,5)
=> Lösung: a=1, b=6 (wegen 19b-8a > 100 => b > 108/19 => b > 5)
19b-8a = 100b+10a+c (0 <= c <= 9)
=> wegen 0 <= -81b-18a
=> keine Lösung
19b-8a = 100b+10c+a (0 <= c <= 9)
=> wegen 0 <= -81b-9a
=> keine Lösung
19b-8a = 100c+10b+a (1 <= c <= 2 wegen (II))
=> wegen 1 <= 9b-9a gilt b-a >= 1/9,
es folgt b-a > 1/9,
es folgt b-a >= 1
=> wegen 9b-9a <= 2 gilt b-a <= 2/9,
es folgt b-a < 2/9,
es folgt b-a <= 0
=> keine Lösung
19b-8a = 100c+10a+b (1 <= c <= 2 wegen (II))
=> wegen 1 <= 18b-18a <= 2, siehe oben
=> keine Lösung
