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ABCDE*4 = EDCBA

Mathematik Nr. 147

Multipliziert man eine fünfstellige Zahl mit 4, ist das Ergebnis die umgekehrte Zahlenreihenfolge dieser Zahl:

  abcde * 4 = edcba

Wie lautet die Zahl?

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Zunächst einmal haben wir eine 5-stellige Ausgangszahl (also >=10.000) und ein fünfstelliges Ergebnis. Daher muss die Ausgangszahl auch <25.000 sein (sonst wäre das Ergebnis >=100.000). Die Ausgangszahl liegt folglich zwischen 9.999 und 25.000.

Darum ist die erste Ziffer der Ausgangszahl eine 1 oder eine 2. Da dies auch identisch ist mit der letzten Ziffer der Ergebniszahl, ist zu prüfen welche stimmt. Da bei einer Multiplikation mit 4 immer nur eine gerade Zahl als Ergebnis herauskommen kann, muss die letzte Ziffer des Ergebnis gerade, also eine 2 sein. Daraus folgt:

  2---- * 4 = ----2

Multipliziert man eine Zahl >20.000 mit 4 kommt als Ergebnis etwas >80.000 raus. Daraus folgt, dass die erste Ziffer des Ergebnisses eine 8 oder eine 9 sein muss. Daraus folgt weiterhin, dass die letzte Ziffer der Ausgangszahl auch eine 8 oder 9 sein muss. Aus 9 * 4 = 36 folgt ein Widerspruch zu der bereits gefundenen letzten Ziffer (2) im Ergebnis. Also bleibt nur 8 * 4 = 32. Daraus folgt:

  2---8 * 4 = 8---2

Die zweite Ziffer der Ausgangszahl darf bei einer Multiplikation mit 4 keinen Überlauf in die Zehntausender Stelle bringen. Sonst wäre das Ergebnis >=90.000, was der gefundenen 8 als erster Ziffer des Ergebnis widerspricht. Daher kann die zweite Ziffer der Ausgangszahl nur eine 0, 1 oder 2 sein. Gleiches gilt für die vorletzte Ziffer des Ergebnis.

Jetzt sucht man eine 2-stellige Zahl mit einer 8 am Ende (letzte 2 Ziffern der Ausgangszahl), die mit 4 multipliziert im Ergebnis als vorletzte Ziffer die eben genannte 0 oder 1 oder 2 ergibt. Dafür kommen nach Probe nur 28 (112) und 78 (312) in Frage. Beide Ergebnisse haben als 2-te Ziffer eine 1. Somit steht als vorletzte Ziffer im Ergebnis und als zweite Ziffer in der Ausgangszahl die 1 fest. Daraus folgt:

  21--8 * 4 = 8--12

Die vorletzte Ziffer der Ausgangszahl kann nur eine 2 oder eine 7 sein (siehe 28 oder 78 oben). Eine 2 würde bedeuten, dass auch im Ergebnis eine 2 an zweiter Stelle steht (82_12). Dies führt zum Widerspruch, da 21.000 * 4 größer 84.000 ist. Daher kann nur die 7 richtig sein. Daraus folgt:

  21-78 * 4 = 87-12

Nun wissen wir, dass die letzten beiden Ziffern der Ausgangszahl 78 sind. Multipliziert mit 4 ergibt dies 312. Die mittlere Ziffer mit 4 multipliziert zuzüglich der 3 von 312 muss wieder sich selbst ergeben.

Weiter wissen wir, dass die mittlere Ziffer mit 4 multipliziert noch einen Überlauf in die Tausenderstelle bringen muss und zwar mindestens 3.000, da 21.000 * 4 nur 84.000 ergibt, das Ergebnis aber >87.000 ist. Letztere Bedingung (3.000) erfüllen nur die 7, 8 und 9. Die 7 und 8 fallen dabei raus, da sie * 4 genommen + 3 nicht sich selbst ergeben. Daraus folgt als mittlere Ziffer eine 9 und somit:

  21978 * 4 = 87912