Mathematik Nr. 145
Wie viele Zahlen gibt es, die ihre Länge als Ziffer enthalten? Beispiel: 10254 hat die Länge 5 und enthält auch die Ziffer 5.
Man finde eine elegante Lösung, ohne alle Möglichkeiten aufzusummieren.
Es gibt 612579511 derartige Zahlen (= 1 Mrd. - 99)
Es gibt 1 Mrd. Kandidaten (9-stellig, hier mit führenden Nullen): 000000000 bis 99999999
Wir bestimmen die Anzahl derer, die ihre Länge NICHT enthalten: An jeder Position können dann nur noch 9 verschiedene Ziffern stehen, nämlich die 10 Möglichen [0...9] abzüglich der Längenziffer. So kommen wir auf eine Anzahl von 387420489 (= 99), die NICHT ihre Länge enthalten.
Also besteht der Rest, nämlich 612579511 Kandidaten (1 Mrd. - 99) aus Zahlen, die ihre Länge enthalten.