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Die Farben der Waben

Mathematik Nr. 141

In einem Wabenfeld sind vier Teilfelder bereits mit unterschiedlichen Farben belegt (linkes Bild). Einige der restlichen Felder sind so zu färben, dass sich auf jeder orthogonalen Linie (im rechten Bild die schwarzen Linien, nicht aber die rote) jede Farbe genau einmal vorkommt. Felder der gleichen Farbe dürfen nicht benachbart sein.

  

Gesucht sind alle unterschiedlichen Lösungen, die nicht durch Drehungen identisch sein dürfen. Da in der Aufgabe alle Lösungen (keine, eine oder mehrere)  gesucht sind, geht es nicht ohne Beweis.

Lösung anzeigen

Hier finden Sie eine weitere ausführliche Lösung von Emma!

1. Anordnung der ungefärbten Felder

Als ersten Schritt bestimmen wir, welche Felder ungefärbt bleiben können. In der mittleren Zeile sind insgesamt 7 Felder, also müssen 3 Felder leer bleiben. Die beiden äußeren Felder dürfen nicht leer bleiben. Also gibt es 10 Möglichkeiten, nämlich

A1 x x x o o o x
A2 x x o x o o x
A3 x x o o x o x
A4 x x o o o x x
A5 x o x x o o x
A6 x o x o x o x
A7 x o x o o x x
A8 x o o x x o x
A9 x o o x o x x
A10 x o o o x x x

Die letzten 4 Kombinationen können durch Drehung aus den ersten 6 Kombination erreicht werden und bleiben deshalb außer Betracht. In der Zeile darüber muss es 2 Leerfelder geben, dafür gibt es folgende 6 Möglichkeiten.

B1 x x x o o x
B2 x x o x o x
B3 x x o o x x
B4 x o x x o x
B5 x o x o x x
B6 x o o x x x

Die symmetrischen Fälle können wir jetzt nicht unterschlagen, weil wir sie ja mit der mittleren Zeile kombinieren wollen.

Lasst uns jede Kombinationsmöglichkeit einzeln betrachten! Da auch die anderen Linien beachtet werden müssen, scheiden einige Kombinationen sehr schnell aus oder führen folgerichtig zu einem der unten aufgeführten Muster.

  B1 B2 B3 B4 B5 B6
A1 - - 1 - - 2
A2 - - 3 - - -
A3 - - - - - -
A4 4 5 - - 6 7
A5 - - - - - -
A6 - - 8 - - -

 

Muster 1 Muster 2 Muster 3 Muster 4 
   x x x x
  x o x x x
 x x o o x x
x x x o o o x
 x o o x x x
  x x o x x
   x x x x
 
   x x x x
  x x o x x
 x o o x x x
x x x o o o x
 x x o o x x
  x o x x x
   x x x x
 
   x x x x
  x o x x x
 x x o o x x
x x o x o o x
 x x o o x x
  x o x x x
   x x x x
 
   x x x x
  x o x x x
 x x x o o x
x x o o o x x
 x o o x x x
  x x x o x
   x x x x
Muster 5 Muster 6 Muster 7 Muster 8 
   x x x x
  x o x x x
 x x o x o x
x x o o o x x
 x x o x o x
  x o x x x
   x x x x
 
   x x x x
  x x x o x
 x o x o x x
x x o o o x x
 x o x o x x
  x x x o x
   x x x x
 
   x x x x
  x x x o x
 x o o x x x
x x o o o x x
 x x x o o x
  x o x x x
   x x x x
 
   x x x x
  x x o x x
 x x o o x x
x o x o x o x
 x x o o x x
  x x o x x
   x x x x

Die Muster 1, 2, 5, 6 sind identisch, ebenso die Muster 4, 7, 8. Demnach gibt es 3 verschiedene Muster, die leeren Felder anzuordnen. Wir betrachten nach einander die Muster 1, 3 und 4.

Die anderen fallen den Symmetrieaspekten zum Opfer.

2. Anordnung der Farben

Der zweite Schritt bringt Farben ins Spiel.

Die erste Zeile ist bereits vorgegeben. Da die Wahl der Farben nicht relevant ist, werde ich sie einfach mit 1, 2, 3, 4 bezeichnen. Außerdem werde ich das n-te farbige Feld in der x-ten Zeile mit Fxn bezeichnen; das macht den Text etwas übersichtlicher.

Die zweite Zeile muss immer mit 2 oder 3 oder 4 beginnen, d.h. F21 = 2 oder F21 = 3 oder F21 = 4.

Wir betrachten zuerst das Muster 1:

Wenn F21 = 2, dann F23 = 1, F22 = 4 und F24 = 3, F43 = 1, F44 = 2, F54 = 4, F52 = 2, F33 kann nicht mehr gefärbt werden, also keine Lösung.

Wenn F21 = 3, dann F22 = 4, F34 = 3, F53 = 1, F64 = 3, F42 = 3, F41 = 4, F51 kann nicht mehr gefärbt werden, also keine Lösung.

Wenn F21 = 4, dann F22 = 1, F23 = 2, F24 = 3, F33 = 4, F43 = 2, F44 = 1, F54 kann nicht mehr gefärbt werden, also keine Lösung.

Nun das Muster 3:

Wenn F21 = 2, dann F23 = 1, F22 = 4 und F24 = 3, F44 = 2, F34 = 1, F33 = 2, F53 = 3, F54 = 4, F43 = 3,
F74 kann nicht mehr gefärbt werden, also keine Lösung.

Wenn F21 = 3, dann F22 = 4. Es gilt F23 = 1 oder F23 = 2.

Wenn F23 = 1, dann F24 = 2, F33 = 4, F31 = 2, F32 = 1, F61 kann nicht mehr gefärbt werden, also keine Lösung.

Wenn F23 = 2, dann F24 = 1, F33 = 4, F31 = 2, F32 = 1, F34 = 3, F41 = 4, F42 = 3, F72 kann nicht mehr gefärbt werden, also keine Lösung.

Wenn F21 = 4, dann F22 = 1, F23 = 2, F24 = 3, F33 = 4, F43 = 3, F41 = 2, F31 = 3, F32 = 1, F34 = 2,
F42 = 4, F44 = 1, F54 kann nicht mehr gefärbt werden, also keine Lösung.

Und das Muster 4:

Wenn F21 = 2, dann F23 = 1, F22 = 4, F24 = 3, F33 = 2, F34 = 1, F44 = 2, F43 = 4, F54 kann nicht mehr gefärbt werden, also keine Lösung.

Wenn F21 = 3, dann F22 = 4, F33 = 2, F31 = 4, F32 = 1, F34 = 3, F41 = 2, F42 = 3, F44 = 1, F43 = 4,
F51 = 4, F52 = 3, F53 = 1, F54 = 2, F23 = 1, F24 = 2, F61 = 1, F62 = 2, F63 = 4, F64 = 3 und auch die letzte Zeile geht auf. Hurra, wir haben eine Lösung!

Wenn F21 = 4, dann F22 = 1, F23 = 2, F24 = 3, F33 = 4, F53 = 2, F63 = 1, F73 = 4, F62 = 3, F42 = 1,
F31 = 2, F32 = 3, F34 = 1, F41 = 3, F43 = 4, F44 = 2, F51 = 4, F53 = 3, F54 = 1, F61 = 2, F64 = 43 und auch die letzte Zeile geht auf. Hurra, wir haben noch eine Lösung!

Lösung 1 Lösung 2 
   1 2 3 4
  3 o 4 1 2
 4 1 2 o o 3
2 3 o o o 4 1
 4 o o 3 1 2
  1 2 4 o 3
   3 1 2 4
 
   1 2 3 4
  4 o 1 2 3
 2 3 4 o o 1
3 1 o o o 4 2
 4 o o 2 3 1
  2 3 1 o 4
   1 4 2 3

Haben wir nun eine oder zwei Lösungen?

Wenn wir die Lösung 2 um 180° drehen und die Farben (1234) durch (3241) ersetzen, erhalten wir wieder die Lösung 1.

Fazit: Es gibt bis auf Symmetrien (Drehung und Permutation) genau eine Lösung. Wem die Farben nicht egal sind, für den gibt es offensichtlich 6 Lösungen. Das überlasse ich aber dem Leser!