Rätsel und Puzzles
Mathematik Nr. 137
Zwei Elektriker benötigen zusammen 12 Tage für eine Installation einer Werkhalle. Würde jeder alleine arbeiten, so bräuchte der eine 10 Tage länger als der andere. Wie lange würde jeder allein brauchen?
Zusammen schaffen die beiden Elektriker pro Tag 1/12 der gesamten Halle. Einer alleine schafft pro Tag 1/x bzw. 1/y der Halle.
1/x+1/y = 1/12 x+10 = y
Und weiter:
x+y = xy/12 x+x+10 = x(x+10)/12 x²+10x-12*2x-12*10 = x²-14x-120 = 0 x1,2 = 7±sqrt(49+120) = 7±13.
Damit ergibt sich:
x = 20 oder x = -6 (letzteres ist offenbar unsinnig)
Der eine Elektriker alleine braucht also 20 Tage, der andere alleine 30 Tage.
Sei
VG = gemeinsame (addierte) Geschwindigkeit der beiden. V1 = Geschwindigkeit Elektriker 1 (der schnellere) V2 = Geschwindigkeit Elektriker 2 (der langsamere)
Die Dimension der Geschwindigkeit ist Werkhallen/Tag. Nun ist
VG = V1 + V2 VG = 1/12 V1 = 1/x V2 = 1/(x+10)
Das ergibt
1/12 = 1/x + 1/(x+10)
Nach Umformung ergibt sich die quadratische Gleichung x² - 14x - 120 = 0,
die als Lösung für x > 0 liefert: x = 20. Damit ist V1 = 1/20 und V2 = 1/30
Alleine brauchen die Elektriker also 2ß bzw. 30 Tage.
Die beiden Elektriker arbeiten mit der Geschwindigkeit v = 1 Halle / 12 Tage. Die Zeit (t1) des einen Elektrikers für diese Arbeit ist um 10 Tage größer, als die des anderen (t2 = t1 + 10 Tage)
Diese Arbeitsgeschwindigkeiten der beiden Elektriker (v1 und v2) addieren sich zur gemeinsamen Arbeitsgeschwindigkeit v: v = v1 + v2.
Es gilt:
v = 1 Halle / 12 Tage v = 1/12 v1 = 1/t1 v2 = 1/t2 = 1/(t1+10)
Dann ist
v = v1 + v2 1/12 = (1/t1)+(1/(t1+10))
Der gemeinsamer Nenner auf der rechten Seite = t1 (t1+10) = t1²+10t1
führt zu:
1/12 = ((t1 + 10) + t1) / (t1² + 10t1) 1/12 = (2t1 + 10) / (t1² + 10t1)
Beide Seiten mit dem o.g. Nenner und mit 12 erweitern:
t1² + 10t1 = 12 (2t1 + 10) t1² + 10t1 = 24t1 + 120
Die rechte Seite subtrahieren:
t1² + 10t1 - 24t1 - 120 = 0 t1² - 14t1 - 120 = 0
Dies entspricht folgendem Binomen:
(t1 + 6) * (t1 - 20) = 0
Lösung A:
t1 - 20 = 0 t1 = 20 (Tage) t2 = t1 + 10 = 20 + 10 = 30 (Tage)
Lösung B:
t1 + 6 = 0 t1 = -6 (Tage) t2 = t1 + 10 = -6 + 10 = 4 (Tage)
BEIDE Lösungen sind richtig! Hier die Gegenprobe:
Lösung A:
Wenn Arbeiter 1 in 20 Tagen eine Halle schafft, dann schafft er in 600 Tagen 30 Hallen. Wenn Arbeiter 2 in 30 Tagen eine Halle schafft, dann schafft er in 600 Tagen 20 Hallen. Beide Arbeiter schaffen also gemeinsam in 600 Tagen 30 + 20 = 50 Hallen. Für 1 Halle benötigen sie demnach 600 / 50 = 12 Tage. Dies entspricht genau der Vorgabe.
Lösung B:
Wenn Arbeiter 1 in -6 Tagen eine Halle schafft, dann schafft er in 24 Tagen -4 Hallen. Wenn Arbeiter 2 in 4 Tagen eine Halle schafft, dann schafft er in 24 Tagen 6 Hallen. Beide Arbeiter schaffen also gemeinsam in 24 Tagen -4 + 6 = 2 Hallen. Für 1 Halle benötigen sie demnach 24 / 2 = 12 Tage. Auch dies entspricht der Vorgabe!
Die zweite, etwas ungewöhnlich scheinende, Lösung B kann man sich zum Beispiel so vorstellen, dass Arbeiter 1 ein Saboteur ist, der die Installation von Arbeiter 2 immer wieder abbaut, also negative Arbeit leistet. Da Arbeiter 2 aber entsprechend schneller ist, wird die Installation trotzdem in 12 Tagen fertig. ;-)