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Faire und unfaire Münzen

Mathematik Nr. 135

Paul hat 2 Münzen. Eine ist fair, bei der kommen Kopf und Zahl mit einer Wahrscheinlichkeit von 50%. Die andere ist nicht fair, bei der  kommt Kopf in 2/3 und Zahl in 1/3 der Fälle. Paul nimmt eine der beiden Münzen wirft sie drei mal und erhält zwei mal Kopf und ein mal Zahl.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Paul mit der faire Münze geworfen hat?

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Für die faire Münze sind 8 gleichwahrscheinlichen Fälle zu betrachten, von denen 3 (KKZ, KZK und ZKK) dem Ergebnis entsprechen. Der betrachtete Fall kommt bei der fairen Münze also mit W=3/8 vor.

Bei der anderen Münze muss man 27 gleichwahrscheinliche Fälle unterscheiden, wovon 2*2*1 + 2*1*2 + 1*2*2 = 12 Fälle der vorgefundenen Situation entsprechen. Der betrachtete Fall kommt bei der nicht fairen Münze also mit W=4/9 vor.

Nun betrachte man 9*8=72 Fälle und sieht, dass die beschriebene Situation durch 59 davon repräsentiert wird; nämlich 9*3=27 mit der fairen und 8*4=32 mit der nicht fairen Münze. (Anmerkung: 9*8 ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner der Wahrscheinlichkeiten in den ersten beiden Absätzen.)

Wenn diese Situation also vorliegt, dann ist sie mit 27/59=45,8% durch die faire Münze und mit 32/59=54,2% durch die andere Münze entstanden.

Mit der Wahrscheinlichkeit 45,8% verwendete Paul die faire Münze.