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Zwei besondere Zahlen

Mathematik Nr. 132

Welches ist diem kleinste fünfstellige Zahl n, sodass n und 2n gemeinsam als allen 10 Ziffern von 0 bis 9 besteht?

Beispiel: n sei 12345, dann ist 2n gleich 24690. Die beiden Zahlen erfüllen aber die gesuchte Bedingung nicht, da die 2 und die 4 doppelt vorkommt und die 7 sowie die 8 gar nicht.

Lösung anzeigen

Erst einmal das kleine Einmaleins:

  0,5 -> 0,1
  1,6 -> 2,3
  2,7 -> 4,5
  3,8 -> 6,7
  4,9 -> 8,9

Interessant sind die 0 und die 9.

Sei n = abcde im Dezimalsystem, und 2n = fghij.

Da wir ein möglichst kleines n suchen, vermute ich mal a = 1. Dann ist also die 1 in n drin, und damit auch 5, und die 0 ist in 2n drin.

Ebenfalls für ein möglichst kleines n nehmen wir an, dass b < 5 ist. Dann ist f = 2.

Die 0, 1 und 2 sind jetzt schon vergeben, mit a = 1. Für das kleinstmögliche n muss also b = 3 sein. Sei das also mal angenommen.

Zwischenstand:

  n  = 1 3 x x x   (eins der x ist die 5)
  2n = 2 x x x x   (unter der 5 ist die 0, unter 3 ist 6 oder 7)

Wir hatten ja noch eine von zwei Möglichkeiten zu wählen, nämlich wo die 9 ist:

Angenommen, die 9 ist in n (also oben). Dann ist die 8 und die 4 unten (in 2n) enthalten, und die 7 kommt nach oben über die 4, und die 6 kommt nach unten unter der 3. Dann wäre

  n  = 1 3 x x x   (5, 7, 9)
  2n = 2 6 x x x   (0, 4, 8)

Für n wären so, nach Größe sortiert, noch folgende Möglichkeiten offen:

  13579
  13597
  13759
  13795
  13957
  13975

Keine dieser Möglichkeiten paßt, ist ja auch kein Wunder; nur ungerade Ziffern in n kann aus genügend anderen Gründen nicht klappen.

Folgerung: Die letzte Annahme war falsch, die 9 ist nicht oben, sondern unten.

Ich wiederhole den Zwischenstand:

  n  = 1 3 x x x   (eins der x ist die 5)
  2n = 2 x x x x   (unter der 5 ist die 0, unter 3 ist 6 oder 7)

und ergänze: 9 ist in 2n, 4 und 8 sind in n, bleiben 6 und 7 für 2n.

  n  = 1 3 x x x   (4, 5 und 8)
  2n = 2 x x x x   (8, 9, 6, 7)

Für n sind nun folgende Möglichkeiten offen:

  13458
  13485 Bingo! n = 13485, 2n = 26970
  13548 (tut's auch)
  13584
  13845 (tut's auch)
  13854

Die spekulativen Annahmen, nämlich dass n mit 13... anfängt, haben sich, für das kleinste n, bewahrheitet. Wahrscheinlich gibt es noch jede Menge weiterer Lösungen für n, die nicht mit 13... anfangen, aber gesucht war das kleinste n, und das ist 13485.

Es geht ohne Computer. Aber mit einem Suchprogramm wäre es schneller gegangen.