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Umfang und Flächeninhalt

Mathematik Nr. 129

Auf kariertem Papier (übliches 0,5-cm-Muster) wird eine Fläche mit dem Flächeninhalt 2002 Quadratzentimeter (entlang der Linien) gezeichnet.

Wie groß ist der Umfang mindestens, wie groß ist er höchstens?

Lösung anzeigen

Der minimale Flächeninhalt ist 89 x 90 Kästchen, das sind 2002,5 cm², aber wenn man genau zwei Kästchen am Eck wegnimmt, ändert sich hier der Umfang nicht. Der Umfang ist also also (89+90)*2 Kästchenlänge, also 179 cm.

Falls die Fläche zusammenhängend sein soll, ist die maximale Fläche 1*8008 Kästchen, das sind 8009*2 Kästchenlänge, also 8009 cm.

Es gibt aber übrigens nicht nur diese eine Lösung, die 8009cm Umfang ergibt sondern sehr viele! Beispiele gefällig?

  X X X X X X       X X X X X X
  XXXXXXXXXXX usw. XXXXXXXXXXXXX
  X X X X X X       X X X X X X

besteht aus 2000 sich wiederholenden Einheiten:

   X 
  XX 
   X

mit je 1 cm2 Fläche, die je 4 cm Umfang beisteuern, sowie einem Anfang und einem Ende:

   X     X
  XX     XX
   X     X

die zusammen 2 cm2 und 4,5+4,5 = 9 cm Umfang haben. Insgesamt also 2002 cm2 und 8009 cm Umfang.

Anderes Beispiel:

  X X X X X X      X X X X X  
  X X X X X X      X X X X X X 
  XXXXXXXXXXX usw. XXXXXXXXXXXXX
  X X X X X X      X X X X X X  
  X X X X X X      X X X X X

Ähnlich wie oben: 1333 sich wiederholende Einheiten, ein Anfang und ein Ende mit insgesamt 2002 cm2 Fläche und 8009 cm Umfang.