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Ein mathematisches Spiel

Mathematik Nr. 128

Zwei Personen spielen folgendes Spiel:

Wer gewinnt bei optimalem Spiel, der den ersten Zug machende Spieler oder sein Gegner?

Lösung anzeigen

Gewonnen hat derjenige, der eine Zahl n vorfindet mit 1991-n | n, denn dann kann er direkt 1991 hinschreiben und der Gegner muss eine größere Zahl wählen.

Für ungerade n ist 1991-n gerade, kann also n nicht teilen. Der Anziehende kann nun dafür sorgen, dass sein Gegner immer mit ungeraden Zahlen <= 1991 zu tun bekommt. (Sein Gegner hinterlässt ihm ja stets eine gerade Zahl < 1991, da die Teiler seiner ungeraden Zahl alle ungerade sind und die Summe aus Zahl und Teiler damit gerade sein muss. Also kann er stets zumindest 1 wählen.)