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Schwarze und weiße Kugeln

Mathematik Nr. 125

Eine Schachtel enthält 75 weiße Kugeln und 150 schwarze Kugeln; außerdem gibt es (außerhalb der Schachtel) noch einen unbegrenzten Vorrat an weißen und Schwarzen Kugeln. Die Schachtel ist auch groß genug, um eine beliebige Anzahl Kugeln aufzunehmen (ja, mathematische Schachteln sind schon seltsame Gebilde!).

Regeln: Mit jedem Zug nehme man zwei Kugeln aus der Schachtel (natürlich mit verbundenen Augen zufällig gewählt) und verfahre wie folgt:

a) Wenn beide Kugeln schwarz sind, lege man eine davon beiseite und die zweite in die Schachtel zurück

b) Wenn eine Kugel schwarz und die andere weiß ist, lege man die schwarze beiseite und die weiße in die Schachtel zurück

c) Wenn beide Kugeln weiß sind, lege man die beiden weißen Kugeln zur Seite und dafür eine schwarze in die Schachtel

Das tue man so lange, bis nur noch eine Kugel in der Schachtel ist. Welche Farbe hat diese Kugel?

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a) Wenn beide Kugeln schwarz sind, lege man eine davon beiseite und die zweite in die Schachtel zurück

Damit kann man also eine schwarze Kugel nach der andern loswerden, bis nur noch eine da ist. Weiße Kugeln haben nix damit zu tun.

b) Wenn eine Kugel schwarz und die andere weiß ist, lege man die schwarze beiseite und die weiße in die Schachtel zurück

Verringert ebenfalls die Zahl der schwarzen Kugeln um eins, aber nur, solange noch weiße Kugeln da sind.

c) Wenn beide Kugeln weiß sind, lege man die beiden weißen Kugeln zur Seite und dafür eine schwarze in die Schachtel

Die einzige Regel, mit der die Zahl der weißen Kugeln verringert wird. Dafür aber gleich um zwei.

Das tue man so lange, bis nur noch eine Kugel in der Schachtel ist. Welche Farbe hat diese Kugel?

Da die weißen Kugeln nur paarweise verschwinden können und wir mit einer ungeraden Zahl weißer Kugeln starten, kann die letzte Kugel (so es eine gibt) nur eine weiße sein. Dass es immer eine letzte Kugel gibt, ist klar, da mit jedem Zug die Zahl der Kugeln um genau eins verringert wird. Daraus folgt: Egal, wie ich spiele, zum Schluss bleibt eine Kugel übrig, und die ist weiß.