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63 Felder eines Schachbretts

Mathematik Nr. 124

Gesucht sind drei einander ähnliche geometrische Figuren A, B, und C mit Gesamtfläche 63 Quadrateinheiten und folgender Eigenschaft:

Wenn man von einem 8x8 Schachbrett ein beliebiges Feld wegnimmt, dann kann die restliche Fläche genau mit A, B und C überdeckt werden.

Wie sehen A, B und C aus?

Lösung anzeigen

Das fehlende Feld muss sich in einem Viertel des 8x8-Brettes befinden. Daher gibt es immer ein zusammenhängendes 3/4-Stück vom 8x8-Brett. O.B.d.A. sei das fehlende Stück rechts unten:

  OOOOOOOO
  OOOOOOOO
  OOOOOOOO
  OOOOOOOO
  OOOO
  OOOO
  OOOO
  OOOO

Betrachten wir den Rest (4x4) in dem sich das fehlende Stück befindet: Das fehlende Feld muss sich in einem Viertel des 4x4-Brettes befinden. Daher gibt es immer ein zusammenhängendes 3/4-Stück vom 4x4-Brett. O.B.d.A. sei das fehlende Stück rechts unten:

  OOOO
  OOOO
  OO
  OO

Betrachten wir den Rest (2x2) in dem sich das fehlende Stück befindet: Das fehlende Feld muss sich in einem Viertel des 2x2-Brettes befinden. Daher gibt es immer ein zusammenhängendes 3/4-Stück vom 2x2-Brett. O.B.d.A. sei das fehlende Stück rechts unten::

  OO
  O

Damit haben wir die drei Figuren gefunden!