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Springer auf dem Toffifee

Mathematik Nr. 122

Ein begeisterter Schachspieler sitzt vor einer Packung Toffifee und versucht, diese Schachtel leer zu essen. Kann es ihm gelingen, alle Karamellen zu vernaschen, wenn er sich zur Bedingung macht, die Packung gleich einem Springer beim Schach nach und nach zu leeren?

Es gibt handelsüblich 2 verschiedene Packungsgrößen 4x5 (20 Stück) und 3x5 (15 Stück).

a) In welcher Reihenfolge muss er die Toffifee aus der Packung herausessen, um sie vollständig zu entleeren? Geht das überhaupt?

b) Welches wäre die kleinstmögliche rechteckige Verpackungsform, die ein vollständiges Leeren der Schachtel ermöglicht? Welches die kleinstmögliche quadratische?

Lösung anzeigen

Man schreibe in jedes Feld die Wertigkeit (= Anzahl benachbarter Springerfelder) also z.B. für A1 bis D5:

   |A B C D
  -|------
  1|2 3 3 2
  2|3 4 4 3
  3|4 6 6 4
  4|3 4 4 3
  5|2 3 3 2

Man starte mit A1, ziehe in jedem Nachbar-Springerfeld 1 ab und wähle ein minimales Nachbarfeld

   |A B C D
  -|------
  1|X 3 3 2
  2|3 4 3 3
  3|4 5 6 4
  4|3 4 4 3
  5|2 3 3 2

Und so weiter. Dies führt auf DIREKTEM Weg zu einer Lösung (oder bricht wegen Null in einem Feld ab).

Reihenfolge für A1 bis D5:

   |A  B  C  D
  -|-----------
  1|01 06 11 16
  2|12 17 02 07
  3|05 10 15 20
  4|18 13 08 03
  5|09 04 19 14

Im schlimmsten Fall muss man dies mit sechs unterschiedlichen Startfeldern testen (sechs reichen wegen der Symmetrie aus).

Bei 3x5 ist die Wertigkeit

  2 2 2
  3 2 3
  4 4 4
  3 2 3
  2 2 2

Das ergibt nach zehn Zügen beispielsweise:

  1 T 5
  4 9 2
  T 6 T
  0 3 8
  7 T ?

Hier bricht die Folge ab, da das Feld "?" jetzt NULL Nachbarfelder hat. Es gibt also keine Lösung.

---

3x4 ist die kleinste Packungsgröße, die man den Regeln entsprechend abräumen kann. 2x3 hat zwei Felder mit Wertigkeit 0 schon vor dem eigentlichen Start. Lösung: A1 B3 C1 A2 B4 C2 A3 B1 C3 A4 B2 C4.

3x3 hat im zentralen Feld Wertigkeit 0 schon vor dem eigentlichen Start. 4x4 führt spätestens nach Zug 11 zur Abbruchbedingung. 5x5 ist die erste quadratische Packung, die man den Regeln entsprechend abräumen kann: a1 c2 e1 d3 e5 c4 a5 b3 c1 e2 d4 b5 a3 b1 d2 e4 c5 a4 b2 d1 e3 d5 b4 a2 c3. Man startet mit mit den Wertigkeiten

  2 3 4 3 2
  3 4 6 4 3
  4 6 8 6 4
  3 4 6 4 3
  2 3 4 3 2

und immer schön ein »benachbartes« Minimum ausgewählt – kein herumprobieren, einfach von vorn bis hinten Schritt für Schritt zur Lösung.