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Zwei Töpfe mit Steinen

Mathematik Nr. 120

A und B spielen ein Spiel. Dazu füllen sie zwei Töpfe mit Steinen. Im ersten Topf liegen 57 Steine, und im zweiten Topf liegen 62 Steine.

Ein Spielzug besteht darin, einen Topf auszuleeren (und die Steine wegzuwerfen) und die Steine aus dem anderen Topf beliebig auf die beiden Töpfe aufzuteilen, sodass jeder Topf mindestens einen Stein enthält.

Spieler A und B machen abwechselnd Spielzüge. A beginnt. Wenn ein Spieler keinen Zug machen kann, dann hat er verloren.

Wer von beiden gewinnt bei optimaler Spielstrategie?

Lösung anzeigen

A gewinnt.

Strategie: A wirft den Haufen mit der ungeraden Anzahl weg und verteilt die gerade Anzahl (sind ja mindestens zwei Steine) in zwei ungerade Haufen beliebiger Größe. Für eine Strategie, die möglichst schnell den Gewinn erzwingt, sollte A die Steine möglichst gleichmäßig verteilen. B muss dann einen Haufen mit ungerader Anzahl wegwerfen und den zweiten Haufen mit ungerader Anzahl wieder in gerade/ungerade aufteilen.

Irgendwann enthält einer der beiden Töpfe nach dem Zug von B nur mehr zwei Steine. A leert den anderen Topf und verteilt die beiden Steine auf die beiden Töpfe, die nun je einen Stein enthalten. B kann nun nicht mehr legal ziehen: Er muss einen Topf leeren, kann den einen Stein aber nicht derart auf die zwei Töpfe verteilen, dass kein Topf leer ist. A hat also gewonnen.