Ja, es ist möglich.
Die tatsächliche Sitzreihenfolge ist irgendeine Permutation P von {1,...,12}.
Der Wert P(i)-i gibt nun an, wie weit man den Tisch drehen muss, damit die Person,
die jetzt am i-ten Platz sitzt, vor dem richtigen Namensschild sitzt. Negative
Werte bedeuten dabei eine Drehung in die andere Richtung als positive Werte. Diese
Werte sind natürlich nur bis auf modulo 12 bestimmt, denn eine Drehung des Tisches
um 8 (in eine Richtung) ist dasselbe wie eine Drehung um -4 (dadurch in die andere
Richtung).
Die Aufgabe ist nun äquivalent damit zu fragen, ob es für jede Permutation P
zwei verschiedene Indizes i und j gibt, sodass P(i)-i = P(j)-j gilt.
Angenommen bei einer Permutation P wäre das nicht der Fall, dann müssten alle
12 Werte P(1)-1, P(2)-2, ..., P(12)-12 verschieden sein. Da es aber genau 12 Restklassen
modulo 12 gibt, müssten diese 12 Werte jede dieser 12 Restklassen genau einmal
annehmen.
Summiert man diese 12 Differenzen P(1)-1, ... P(12)-12, so erhält man umgestellt
die Summe aller P(1), P(2), ... P(12) und davon abgezogen die Summe aller 1, 2,
..., 12. Da P eine Permutation von {1,2,...,12} ist, sind diese Summen aber gleich,
das heißt, die Differenz ist 0.
Andererseits ist diese Summe aber - wie gezeigt - auch gleichzeitig die Summer
aller 12 Restklassen modulo 12, also 1+2+...+12 modulo 12 = 6 modulo 12. Das ist
ein Widerspruch.