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Zahlensuche

Mathematik Nr. 117

Man suche alle dreistelligen Zahlen xyz, so dass jede Potenz xyzn die gleichen drei Endziffern xyz am Ende hat (also beispielsweise 4565=19716245323456, was natürlich nicht stimmt).

Lösung anzeigen

Es reicht, eine Lösung für n=2 zu finden. Wegen der Edniffr-Bedingung muss gelten:

  xyz2 = 1000*a+xyz

Jede weitere Multiplikation mit xyz erzeugt wieder ein xyz2 und einen Summanden >1000, d.h. weiter Multiplikationen mit xyz ändern nichts an den letzten 3 Ziffern.

Nun gilt

  (100x+10y+z)2 = 10000x2 + 2000xy + 200xz + 100y2 + 20yz + z2

Man sieht, dass die letzte Ziffer alleine von z bestimmt wird (eigentlich offensichtlich) und dass z = 0, 1, 5 oder 6 sein muss. Nun testen wir der Reihe nach:

a) z=0: (100x+10y)2 = 10000x2 + 2000xy + 100y2
   => die vorletzte Ziffer des Ergebnisses ist 0
   => y=0
   => (100x)2 = 10000x2
   => die drittletzte Ziffer des Ergebnisses ist 0
   => x=0 sein
   x=0, y=0, z=0 ist aber nicht das gewünschte Ergebnis, 
   da wir ja dreistellige Zahlen suchen.
b) z=1: (100x+10y+1)2 = 10000x2 + 2000xy + 200x + 100y2 + 20y + 1
   => Für die vorletzte Ziffer folgt hieraus y = 2y modulo 10 
   => y=0
   => (100x+1)2 = 10000x2 + 200x + 1
   => Für die drittletzte Ziffer folgt x = 2x modulo 10    
   => x=0
   X=0, y=0, z=1 ist auch sicherlich nicht das gewünschte Resultat
c) z=5: (100x+10y+5)2 = 10000x2 + 2000xy + 1000x + 100y2 + 100y + 25
   => Das Ergebnis zeigt, dass die vorletzte Ziffer y=2 sein muss
   => (100x+25)2 = 10000x2 + 4000x + 1000x + 625
   => Das Ergebnis führt auf x=6
   => Dies ist eine Lösung: x=6 y=2 z=5
d) z=6: (100x+10y+6)2 = 10000x2 + 2000xy + 1200x + 100y2 + 120y + 36
   => Die Betrachtung der vorletzten Ziffer führt hier auf
      y = (2y+3) modulo 10 => y=7
   => (100x+76)2 = 10000x2 + 14000x + 1200x + 5776
   => Die Betrachtung der drittletzten Ziffer führt auf
      x = (2x+7) modulo 10 => x=3
   => Damit hat man eine zweite Lösung: x=3 y=7 z=6

Lösungen sind also xyz=625 und xyz=376