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Große Straße beim Kniffeln

Mathematik Nr. 114

»Kniffel« ist ein Spiel mit 5 Würfeln, bei dem gewisse Kombinationen erzielt werden müssen. Dazu hat man 3 Würfe frei und kann sich bei jedem Wurf aussuchen, welche Würfel man liegen lassen und mit welchen man weiter würfeln will.

Als "Große Straße" bezeichnet man eine der beiden folgenden Kombinationen:

    1 2 3 4 5   oder   2 3 4 5 6

Ich musste in einem Spiel nur noch diese Kombination erwürfeln und hatte im ersten Wurf bekommen:

    2 3 3 4 6

Das ist ein hoffnungsvoller Anfang. Wie aber weiterspielen? Eine der beiden Dreien nehmen und mit den beiden verbleibenden Würfen versuchen, die fehlende 5 zu werfen? Die Gewinnchance nenne ich mal G1.

Ich hatte das vage Gefühl, dass es pfiffig sein könnte, die 6 auch noch mit in den Würfelbecher zu packen und dann mit zwei Würfeln die Rest-Formation  2 3 4  aufzufüllen. Schließlich können dann ja die Kombinationen 1+5 sowie 5+6 eine "Grosse Strasse" liefern. Die hierin liegende Gewinnchance nenne ich G2.

Da es beim Spiel flott gehen muss, entschied ich mich für die zweite Variante und hatte Pech. Hinterher wollte ich das aber doch genauer wissen und fing an zu rechnen.

War ich nun pfiffig oder nicht?

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G1 ist ja simpel: Mit Wahrscheinlichkeit 5/6 erhalte ich mit beiden restlichen Würfen eine Zahl, die ich nicht haben will, d.h. mit Wahrscheinlichkeit 25/36 erhalte ich keine 5. Damit ist also G1 = 1-25/36 = 11/36 meine Chance auf die "Große Straße" bei dieser Art der Fortsetzung.

G2 ist allerdings einiges komplizierter zu rechnen. Denn ich habe auf dem Tisch liegen: 2 3 4 und im Würfelbecher habe ich noch zwei Würfel. Sobald der nächste Wurf gemacht ist, muss ich mir aber was neues Schlaues einfallen lassen, es sei denn, dass der zweite Wurf 1+5 oder 5+6 bringt. Denn falls z.B. 1+2 kommt, dann werde ich ja sicher die 1 liegen lassen und im dritten Wurf mit dem anderen Würfel die 5 zu würfeln versuchen. Und kommt 3+4, dann muss ich mit beiden Würfeln noch einmal werfen.

Mit der folgenden Matrix bin ich dem G2 auf die Schliche gekommen:

    | 1 2 3 4 5 6
  ----------------
  1 | a a a a 1 a
  2 | a b b b c a
  3 | a b b b c a
  4 | a b b b c a
  5 | 1 c c c c 1
  6 | a a a a 1 a

Im zweiten Wurf gibt es ja 36 mögliche Ausfälle für die beiden Würfel. Und bei jedem Ausfall komme ich mit eine gewissen Wahrscheinlichkeit zum Ziel "Große Straße". Mit einer 1 in der Matrix sind die 4 Ausfälle markiert, die zu 1+5 und 5+6 gehören, weil danach mit Wahrscheinlichkeit 1 das Ziel erreicht ist.

In 16 der 36 Fälle hat man die 1 oder die 6 erwürfelt und muss mit dem letzten Wurf unbedingt eine 5 schaffen. Das geht mit Wahrscheinlichkeit a=1/6.

Sind beim zweiten Wurf beide Würfel ungünstig gefallen, dann muss man mit beiden erneut würfeln und braucht dann einen der 4 günstigen Ausfälle für 1+5 oder 5+6, kommt also mit der Wahrscheinlichkeit b = 4/36 = 1/9 zum Ziel (9 Fälle).

Bleibt noch der Fall, dass der zweite Wurf eine 5 bringt und dazu eine nicht passende Zahl. Dann liegt ja  2 3 4 5  auf dem Tisch und man muss mit dem letzten Wurf entweder eine 1 oder eine 6 schaffen. Das gelingt mit Wahrscheinlichkeit c = 2/6 = 1/3 in den restlichen 7 Fällen.

Daraus ergibt sich endlich G2 als

  G2 = (4*1 + 16*1/6 + 9*1/9 + 7*1/3) / 36 = 10/36

Das ist also doch ein klein wenig unter der einfach zu berechnenden Wahrscheinlichkeit G1=11/36. Es zahl sich also doch nicht aus, die schon ganz nett postierte 6 wieder zu verwerfen.

Bei dem knappen Unterschied zwischen G1 und G2 aber keine Schande, wenn man das nicht sofort entscheiden kann.