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Palindrom-Zahlen

Mathematik Nr. 112

Palindrom-Zahlen sind Zahlen, die vorwärts und rückwärts gelesen gleich sind, also beispielsweise 121 und 349943, nicht aber 4836.

Stimmt es, dass ungefähr die Hälfte aller Palindrom-Zahlen durch 11 teilbar sind? Oder vielleicht sogar mehr als die Hälfte? Oder etwas weniger?

Lösung anzeigen

Ja, das Stimmt. Wir machen eine Fallunterscheidung:

a) Zahlen mit einer ungeraden Anzahl von Stellen haben den Aufbau "xyzNzyx". Wenn ich N variiere, ändere ich die Zahl um 10, 100, 1000, ... Daher sind nur einzelne Zahlen durch 11 teilbar (Annahme ohne Beweis: 1/11 aller Zahlen)

a) Zahlen mit einer geraden Anzahl von Stellen haben den Aufbau "abcddecba" oder, anders ausgedrückt,

  10000001*a + 01000010*b + 00100100*c + 00011000*d

Nun sind alle Zahlen mit dem Aufbau 10000001*a, 1000010*b, usw., durch 11 teilbar (siehe Teilbarkeitsregel), und daher auch die oben angegebene Summe, und daher auch die Originalzahl.

Zusammenfassung:

Alle Palindrom-Zahlen mit gerader Stellenzahl und ein kleiner Teil derer mit ungerader Stellenzahl sind durch 11 teilbar. Da es gleich viele von beiden gibt, ist mehr als die Hälfte dieser Zahlen durch 11 teilbar.

Teilbarkeit durch 11:

1. Unterstreiche jede zweite Ziffern der Zahl.
2. Addiere alle unterstrichenen Ziffern.
3. Addiere alle nicht unterstrichenen Ziffern.
4. Bilde die Differenz der größeren minus der kleineren Ziffernsumme
5. Ist das Ergebnis durch 11 teilbar, dann auch die ursprüngliche Zahl

Die beiden Ziffernsummen sind bei den oben angegebenen Zahlen immer identisch; die Differenz ist daher 0 und 0 ist durch 11 teilbar.

Beispiel: 1000010*b = 0b0000b0 -> b-b=0