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Das Polygon im Kreis

Mathematik Nr. 110

Auf einem Kreis befinden sich n Punkte, die ein Polygon bilden. Es wird angenommen, dass sich nie mehr als zwei Diagonalen des Polygons in einem Punkt (innerhalb des Polygons) schneiden.

Die Seiten und Diagonalen des Polygons teilen die Kreisfläche in Teilflächen. Unter Einbeziehung der Sonderfälle n=1 und n=2 kann man nun feststellen, dass gilt:

n Teilflächen Anmerkung
1 1 logisch
2 2 2 Halbkreise
3 4 1 Dreieck plus 3 Randbezirke
4 8 1 Viereck, durch Diagonalen geviertelt, plus 4 Randbezirke
... ...  
10 256  

Wie viele Teilflächen ergeben sich bei n=11?

Lösung anzeigen

Ich nehme erst einmal nur das (konvexe) n-Eck mit allen Diagonalen. Nach Euler gilt:

   e-k+f = 1,

wobei e die Anzahl der Ecken, k die Anzahl der Kanten und f die Anzahl
der Flächen ist. Für die Anzahl der Ecken gilt:

              n-1
          n   ---
  e = n + - * >   (i-1)(n-i-1)
          4   ---
              i=1

Begründung: Es gibt n äußere Ecken. Zählen wir nun die inneren Ecken ab. Jede Diagonale, die Ecke a mit Ecke a+i verbindet, schneidet genau (i-1)(n-i-1) andere Diagonalen. Das wird für alle Werte von a gemacht (deshalb der Faktor n). Jetzt wurde jede innere Ecke genau viermal gezählt: für jede der beiden Diagonalen aus jeder Richtung genau einmal - deshalb die Division durch 4.

Für die Anzahl der Kanten gilt:

          n-1
      n   ---
  k = - * >  [(i-1)(n-i-1)+1]
      2   ---
          i=1

Begründung: Jede Diagonale, die Ecke a mit Ecke a+i verbindet, schneidet genau (i-1)(n-i-1) andere Diagonalen, sie wird also in [(i-1)(n-i-1)+1] Teile geteilt. Das wird für alle Werte von a gemacht (deshalb der Faktor n). Jetzt wurde jede Kante doppelt gezählt: aus jeder Richtung genau einmal - deshalb die Division durch 2.

Die Summen wertet man aus, setzt sie in die Euler-Formel ein und erhält:

  f = (24 - 42n + 23n2 - 6n3 + n4)/24.

Da müssen noch die n Randbezirke ergänzt werden, also:

  F = (24 - 28n + 23n2 - 6n3 + n4)/24.

Eine Wertetabelle ergibt:

  n 1 2 3 4  5  6  7  8   9  10  11
  F 1 2 4 8 16 31 57 99 163 256 386

Die gesuchte Anzahl ist also 386.

Dass das Polynom dann für 1<=n<=5 und für n=10 eine 2er-Potenz liefert, das ist halt einer der Zufälle, für die zumindest ich keine Erklärung habe ...