Ich nehme erst einmal nur das (konvexe) n-Eck mit allen Diagonalen. Nach Euler
gilt:
e-k+f = 1,
wobei e die Anzahl der Ecken, k die Anzahl der Kanten und f die Anzahl
der Flächen ist. Für die Anzahl der Ecken gilt:
n-1
n ---
e = n + - * > (i-1)(n-i-1)
4 ---
i=1
Begründung: Es gibt n äußere Ecken. Zählen wir nun die inneren Ecken ab. Jede
Diagonale, die Ecke a mit Ecke a+i verbindet, schneidet genau (i-1)(n-i-1) andere
Diagonalen. Das wird für alle Werte von a gemacht (deshalb der Faktor n). Jetzt
wurde jede innere Ecke genau viermal gezählt: für jede der beiden Diagonalen aus
jeder Richtung genau einmal - deshalb die Division durch 4.
Für die Anzahl der Kanten gilt:
n-1
n ---
k = - * > [(i-1)(n-i-1)+1]
2 ---
i=1
Begründung: Jede Diagonale, die Ecke a mit Ecke a+i verbindet, schneidet genau
(i-1)(n-i-1) andere Diagonalen, sie wird also in [(i-1)(n-i-1)+1] Teile geteilt.
Das wird für alle Werte von a gemacht (deshalb der Faktor n). Jetzt wurde jede
Kante doppelt gezählt: aus jeder Richtung genau einmal - deshalb die Division
durch 2.
Die Summen wertet man aus, setzt sie in die Euler-Formel ein und erhält:
f = (24 - 42n + 23n2 - 6n3 + n4)/24.
Da müssen noch die n Randbezirke ergänzt werden, also:
F = (24 - 28n + 23n2 - 6n3 + n4)/24.
Eine Wertetabelle ergibt:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
F 1 2 4 8 16 31 57 99 163 256 386
Die gesuchte Anzahl ist also 386.
Dass das Polynom dann für 1<=n<=5 und für n=10 eine 2er-Potenz liefert, das
ist halt einer der Zufälle, für die zumindest ich keine Erklärung habe ...
