Rätsel und Puzzles
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Mathematik Nr. 109
Wir betrachten drei sechsseitige, faire Würfel A, B und C:
A: 5, 6, 7, 8, 9, 18 B: 2, 3, 4, 15, 16, 17 C: 1, 10, 11, 12, 13, 14
Man rechnet leicht nach, das B von A mit Wahrscheinlichkeit 21/36 geschlagen wird, dass C von B mit Wahrscheinlichkeit 21/36 geschlagen wird, und dass A von C mit Wahrscheinlichkeit 25/36 geschlagen wird.
Sei
Wahrscheinlichkeit [A schlägt B] >= x Wahrscheinlichkeit [B schlägt C] >= x Wahrscheinlichkeit [C schlägt A] >= x
Wie groß kann x werden, wenn man drei "Würfel" A, B, C mit beliebig vielen Seiten und beliebiger Beschriftung verwendet?
Das obige Beispiel zeigt, dass x=7/12 möglich ist. Aber es geht besser!
Es geht besser, z.B. mit folgenden Würfeln:
A: 5 6 7 8 9 10 11 21 22 B: 3 4 19 20 C: 1 2 12 13 14 15 16 17 18
liefert x = 49/81 = 0.604938.
Allgemein kann man zeigen, da man an den goldenen Schnitt r=(sqrt(5)-1)/2 beliebig nahe herankommt.
Seien F(n) die bekannten Fibonacci-Zahlen:
F(0) = 1 F(1) = 1 F(n) = F(n-1)+F(n-2) für alle n>1
F(n) = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
Man teile die Zahlen auf folgende Weise in Blöcke auf:
A: F(n+2) F(n+1) B: F(n) F(n+1) C: 1
D.h. also konkret:
A: F(n)+1..F(n)+F(n+2),..F(n)+F(n+2)+1+F(n+1)+1..F(n)+F(n+2)+1+F(n+1)+F(n+1)
B: 1..F(n),F(n)+F(n+2)+2..F(n)+F(n+2)+1+F(n+1)
C: F(n)+F(n+2)+1
Es gewinnt:
A gegen B: (F(n+3)*F(n+2)-F(n+2)*F(n+1))/(F(n+3)*F(n+2))=F(n+2)/F(n+3) B gegen C: F(n+1)/F(n+2) C gegen A: F(n+2)/F(n+3)
Zum Beispiel für n=4:
A gegen B: F(4+2)/F(4+3) = 13/21 B gegen C: F(4+1)/F(4+2) = 8/13 C gegen A: F(4+2)/F(4+3) = 13/21
Diese drei Ausdrücke gehen für n → ∞ gegen r.
Jetzt fehlt nur noch der Beweis, dass x nicht größer als r werden kann.