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Seltsame Würfel

Mathematik Nr. 109

Wir betrachten drei sechsseitige, faire Würfel A, B und C:

  A: 5,  6,  7,  8,  9, 18
  B: 2,  3,  4, 15, 16, 17
  C: 1, 10, 11, 12, 13, 14

Man rechnet leicht nach, das B von A mit Wahrscheinlichkeit 21/36 geschlagen wird, dass C von B mit Wahrscheinlichkeit 21/36 geschlagen wird, und dass A von C mit Wahrscheinlichkeit 25/36 geschlagen wird.

Sei

  Wahrscheinlichkeit [A schlägt B] >= x
  Wahrscheinlichkeit [B schlägt C] >= x
  Wahrscheinlichkeit [C schlägt A] >= x

Wie groß kann x werden, wenn man drei "Würfel" A, B, C mit beliebig vielen Seiten und beliebiger Beschriftung verwendet?

Das obige Beispiel zeigt, dass x=7/12 möglich ist. Aber es geht besser!

Lösung anzeigen

Es geht besser, z.B. mit folgenden Würfeln:

  A: 5 6  7  8  9 10 11 21 22
  B: 3 4 19 20
  C: 1 2 12 13 14 15 16 17 18

liefert x = 49/81 = 0.604938.

Allgemein kann man zeigen, da man an den goldenen Schnitt r=(sqrt(5)-1)/2 beliebig nahe herankommt.

Seien F(n) die bekannten Fibonacci-Zahlen:

  F(0) = 1
  F(1) = 1
  F(n) = F(n-1)+F(n-2)  für alle n>1
  F(n) = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Man teile die Zahlen auf folgende Weise in Blöcke auf:

  A:       F(n+2)             F(n+1)
  B: F(n)             F(n+1)
  C:               1

D.h. also konkret:

  A: F(n)+1..F(n)+F(n+2),..F(n)+F(n+2)+1+F(n+1)+1..F(n)+F(n+2)+1+F(n+1)+F(n+1)
  B: 1..F(n),F(n)+F(n+2)+2..F(n)+F(n+2)+1+F(n+1)
  C: F(n)+F(n+2)+1

Es gewinnt:

  A gegen B: (F(n+3)*F(n+2)-F(n+2)*F(n+1))/(F(n+3)*F(n+2))=F(n+2)/F(n+3)
  B gegen C: F(n+1)/F(n+2)
  C gegen A: F(n+2)/F(n+3)

Zum Beispiel für n=4:

  A gegen B: F(4+2)/F(4+3) = 13/21
  B gegen C: F(4+1)/F(4+2) =  8/13
  C gegen A: F(4+2)/F(4+3) = 13/21 

Diese drei Ausdrücke gehen für n → ∞ gegen r.

Jetzt fehlt nur noch der Beweis, dass x nicht größer als r werden kann.