Mathematik Nr. 107 - Brückenhausen im Sturm

Durch Brückenhausen fließt ein breiter Fluss. Es existieren 13 Brücken, die das Nord- und Südufer sowie sechs Inseln im Fluss miteinander verbinden:

Eines Nachts bricht ein Sturm los, der jede einzelne der Brücken mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% zum Einstürzen bringt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man am nächsten Morgen den Fluss auf den noch intakten Brücken überqueren kann?

∨ Lösung

Jede der Brücken kann entweder intakt sein oder eingestürzt. Da es 13 Brücken gibt, gibt es insgesamt 8192 Möglichkeiten. Gesucht ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus Bild a) Brücken auszuwählen, sodass man von dem oberen Ufer zum unteren Ufer laufen kann.

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    a)   |   |   |  b)  >>___________>>   c) >> |  ___  | >>
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In Bild b) sind alle eingestürzten Brücken um 90° gedreht dargestellt. Bild c) zweigt eine Überlagerung von a) und b) bei der es genau einen intakten Weg vom Nordufer zum Südufer gibt.

Allgemein kann man eine maximale Überschneidungsfreie Kombination aus Bild a) und Bild b) auswählen; Bild c) ist ein Beispiel dafür. Nun ist es so, dass es bei jedem dieser Paare entweder einen Weg von oben nach unten oder einen von links nach rechts gibt, d.h. die Anzahl der Konfigurationen mit Weg in Bild a) ist gleich der Anzahl der Konfigurationen ohne Weg in Bild b). Weil Bild b) aber genau das um 90° gedrehte Bild a) ist, ist die Anzahl der Konfigurationen ohne Weg in Bild a) gleich der Anzahl der Konfigurationen ohne Weg in Bild b). Daher gibt es bei genau der Hälfte der Konfigurationen, also 4096, einen Weg von oben nach
unten.

Da wegen der genau 50% Zerstörungswahrscheinlichkeit für jede einzelne Brücke alle Kombinationen gleich wahrscheinlich sind, ist somit die gesuchte Wahrscheinlichkeit 50%.