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Ameisenwanderung

Mathematik Nr. 105

Eine rote Ameise und sieben schwarze Ameisen werden auf einen fünf Meter langen, geraden Ast gesetzt. Jede Ameise wählt (zufällig) links oder rechts als Laufrichtung, und läuft dann mit einer Geschwindigkeit von 1 Meter pro Minute in diese Richtung. Immer wenn zwei Ameisen auf einander treffen, drehen beide um und laufen dann in die Gegenrichtung weiter. Wenn eine
Ameise ein Astende erreicht, dann fällt sie vom Ast und aus dem Spiel.

Wie lange kann die rote Ameise höchstens am Ast bleiben?

Lösung anzeigen

Nehmen wir einmal an, es gäbe keine Möglichkeit, die Ameisen zu unterscheiden. Dann ist die Regel "Wenn sie sich treffen laufen sie in Gegenrichtung weiter" äquivalent zu "Wenn sie sich treffen, laufen sie einfach aneinander vorbei und geradeaus weiter".

Wenn wir dann 8 (oder auch n) identische schwarze Ameisen auf den Ast setzen, die der neuen Regel gehorchen, müssen zwangläufig alle nach spätestens 5 Minuten heruntergefallen sein. Wenn alle heruntergefallen sind, können wir ruhig hinterher auch die letzte, die runtergefallen ist, rot anmalen, runtergefallen ist sie trotzdem.

Die rote Ameise kann also maximal 5 Minuten auf dem Ast bleiben.