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Noch ein neues Casino-Kartenspiel

Mathematik Nr. 104

Der Dealer mischt 26 rote und 26 schwarze Karten, und deckt sie dann der Reihe nach auf.

Der Spieler hat am Anfang genau 100 Euro in der Tasche. Vor dem Aufdecken einer Karte kann er einen ganzzahligen Betrag x aus seiner Tasche nehmen, und auf die Farbe der Karte setzten.

Röt er die Farbe richtig, so erhält er den doppelten Betrag ausgezahlt (also 10 Euro für 5 Wuro Einsatz). Rät er die Farbe falsch, so erhält er nichts ausgezahlt.

Was ist die optimale Strategie des Spielers?

(Optimal: Garantiert dem Spieler y Euro am Spielende, und keine andere Strategie kann ihm z>y Euro garantieren.)

Keine statistischen Annahmen! Die Strategie muss auch funktionieren, wenn der Dealer die Strategie des Spielers kennt, und beim Kartenmischen schwindelt!

Beispiel für eine (nicht optimale) Strategie: Der Spieler wartet 51 Karten ab, und setzt dann 100 Euro auf die fehlende Farbe. Diese Strategie garantiert ihm 200 Euro (und damit 100 Euro Gewinn).

Lösung anzeigen

Angenommen, es sind noch 3 Karten im Spiel und ich habe noch meine 100 Euro. Dann habe ich 2 Möglichkeiten:

a) Alle Karten sind gleich (ich weiß das natürlich, hab ja mitgezählt). Dann setze ich einmal 100, einmal 200, beim letzten 400 Euro und geh mit 800 Euro heim.

b) Eine Karte ist anders als die anderen beiden. Dann setze ich 33 Euro darauf das die Farbe der zwei Karten auftaucht. Gewinne ich, dann hab ich 133 Euro, setzt diese auf die letzte Karte und geh mit 266 Euro heim. Verliere ich, dann hab ich noch 67 Euro, kenne aber die Farben der nächsten beiden Karten, geh also mit 4*67=268 Euro heim.

Im schlechtesten Fall bekomme ich bei drei Karten und 100 Euro Einsatz so 266 Euro, schon deutlich mehr als 200.

Fange ich bei 5 Karten an, dann gehe ich mit 320 Euro heim. Bei welcher Karte man genau anfangen sollte ist aber nicht so leicht (vor allem da nur ganze Euro-Werte gesetzt werden dürfen).

Wenn das Setzen rationaler Beträge erlaubt ist, dann erhält man:

Wenn von der einen Sorte noch a Karten und von der anderen b Karten übrig sind (o.B.d.A. a >= b), dann setze man

   (a-b)/(a+b)

auf die häufigere Sorte und vervielfacht seinen Einsatz auf das

   2^(a+b)/binom(a+b,a) -fache.

Für a=b=n gibt das also laut Stirling eine Vervielfachung von etwa sqrt(pi*n). Der genaue Wert für a=b=26 lautet

   562949953421312/61989816618513

das ist ein bisschen mehr als 9