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Ein neues Casion-Spiel

Mathematik Nr. 103

Der Croupier mischt 26 rote und 26 schwarze Karten, und deckt sie dann der Reihe nach auf. Der Spieler muss den Croupier genau einmal unterbrechen, spätestens, bevor die letzte Karte aufgedeckt wird, und dann 1 Euro darauf setzen, dass die Farbe der nächsten Karte rot ist. Gewinnt er, so erhält er 1 Euro zu seinem Einsatz dazu; andernfalls verliert er seinen Einsatz.

Was ist die beste Spielstrategie (= Strategie, die den höchsten erwarteten Gewinn bringt)?

Lösung anzeigen

1/2

Von Juergen Reinfeldt:

Solange noch mehrere Karten verdeckt sind, gilt immer folgendes: Wenn ich mich jetzt dafür entscheide, den Gewinn von der nächsten Karte abhängig zu machen, kann ich mich genauso gut dafür entscheiden, den Gewinn von der übernächsten Karte abhängig zu machen, denn die Wahrscheinlichkeit, dass die übernächste rot ist, ist ja offensichtlich genauso groß, solange ich die nächste noch nicht gesehen habe.

(Klar, wenn ich mir die nächste ansehe, ändert sich natürlich danach i.A. die Wahrscheinlichkeit, da ein Informationsgewinn vorliegt - aber diese neuen Wahrscheinlichkeiten interessieren hier nicht.)

Ich kann die Gewinnwahrscheinlichkeit also nie erhöhen, indem ich sage: "Ich setze jetzt". Also kann ich mich jetzt dafür entscheiden, bis zur letzten Karte zu warten. Diese hat aber jetzt genau die gleiche Wahrscheinlichkeit, rot zu sein, wie jede andere, z.B. wie die nächste.

Es ist also völlig gleichgültig, welche Strategie ich wähle.

Von Kurt Stege:

Klar ist: Die Strategie, setze auf die letzte Karte, egal was (vorher) passiert, hat eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 50 Prozent.

Nun sollte man auf den ersten Blick meinen, dass es auch eine schlechtere Strategie gibt, nämlich folgende:

Wenn zu irgendeinem Zeitpunkt drei rote Karten mehr als schwarze Karten gezogen wurden, sagt man sofort Stopp. Es ist zwar bescheuert, zu diesem "ungüstigen" Zeitpunkt Stopp zu sagen, denn die Gewinnwahrscheinlichkeit ist gerade schlecht, aber ich suche ja eine dusselige Strategie.

Nur, sie ist nur auf den ersten Blick dusselig. Es sieht so aus, als ob die beiden Fälle wie folgt aussehen:

a) Der Spieler sagt irgendwann Stopp. Dann ist die Gewinnwahrscheinlichkeit kleiner als 50 Prozent.

b) Der Spieler kommt nie dazu, Stopp zu sagen. Dann entscheidet die letzte Karte; Gewinnwahrscheinlichkeit genau 50 Prozent. Insgesamt also eine Gewinnwahrscheinlichkeit, die kleiner als 50 Prozent ist.

Auf dem zweiten Blick ist es aber falsch, denn wenn der Fall b) tatsächlich eintritt, ist für diesen Fall die Gewinnwahrscheinlichkeit sogar größer als 50 Prozent.

Und es ist nun einmal einleuchtend: Es ist egal, ob ich zu irgendeinem Zeitpunkt sage "Stopp, die nächste Karte ist rot" oder zum selben Zeitpunkt sage "Stopp, die letzte Karte ist rot", die Gewinnchancen sind dieselben.

Also ist es völlig egal, wann und nach welcher Strategie man "Stopp" sagt: Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist immer fifty-fifty.