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Drei Karten in einem Hut

Mathematik Nr. 101

In einem Hut befinden sich drei Karten. Eine ist auf beiden Seiten blau, eine ist auf beiden Seiten rot, und eine ist auf einer Seite blau und auf der anderen rot.

Jemand zieht (blind und zufällig) eine dieser drei Karten und legt sie auf den Tisch (ohne die Karte vorher anzusehen). Die obere Seite ist rot; die untere Seite kann man nicht sehen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch die untere Seite rot ist?

Lösung anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit ist 2/3.

Von Thorsten Holz:

Drei Karten sind im Hut und die Chance, eine Karte zu ziehen, die auf mindestens einer Seite rot ist, beträgt 1/2: Man kann die rot/rote und die rot/blaue Karte ziehen. Nun weiß man, dass die eine Seite der Karte rot ist - die Chance, dass die andere Seite auch rot ist, beträgt jetzt also schon 2/3 und nicht nur 1/2.

Von Robin Koch:

In dem Augenblick, in dem ich die rote Seite sehe, weiß ich, dass ich entweder r/r oder r/b gezogen habe. Beide Fälle sind zunächst gleichwahrscheinlich. Aber ich weiß nicht auf "welcher" Seite die Karte liegt. Da die r/r-Karte doppelt so oft auf der Rückseite rot ist (nämlich immer), ist auch hier die Wahrscheinlichkeit, dass sie es ist doppelt so groß wie die, dass sie blau ist.

-> p+p/2=1 -> p=1/1.5=2/3

Von Paul C. Bischof:

Baum für das gesamte Spiel:

              1/1 
      rot/rot---- rot oben 1/3
    /1/3
   /              rot oben 1/6
  /             /1/2
 / 1/3         /
x---- rot/blau 
 \             \
  \             \1/2
   \             blau oben 1/6
    \1/3      1/1  
     blau/blau--- blau oben 1/3

Durch unsere Beobachtung "rot liegt oben" können wir die untere Hälfte des Baums ignorieren, also ist die Wahrscheinlichkeit für "unten auch rot" so gegeben:

                1/3
p(rot unten) = ----- = 2/3
                1/2