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Die Schafe blicken auf

Mathematik Nr. 98

Es war einmal eine große Hirtenfamilie, in der n Brüder je n Schafe hatten. Eines Tages kamen drei Händler zu der Familie, die alle Schafe aufkaufen wollten, so dass jeder Händler die gleiche Anzahl von Schafen bekommen sollte.

»Ok«, sagten die Brüder, »bis auf zwei Schafe, die für unsere Eltern bestimmt sind, mögt ihr die restlichen abkaufen.«

Kam der Handel zustande?

[»Die Schafe blicken auf« bzw. »The Sheep Look Up« ist ein berühmter Science-Fiction Roman von John Brunner.]

Lösung anzeigen

Nein, da n²/3 nie den ganzzahligen Rest 2 ergibt!

n geteilt durch 3 ergibt den Rest 0, 1 oder 2, d.h. es gilt: n=3k oder n=3k+1 oder n=3k+2. Wir untersuchen nun die drei Fälle:

  n=3k   => n2 = 9k2 
         => ohne Rest durch 3 teilbar
  n=3k+1 => n2 = 9k2+6k+1 = 3(3k2+2k)+1 
         => ergibt Rest 1
  n=3k+2 => n2 = 9k2+12k+4 = 3(3k2+4k+1)+1
         => ergibt Rest 1

Eine andere Möglichkeit gibt es nicht; es bleiben also nie zwei Schafe übrig, für beliebige n.