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Dorfgemeinde gestern und heute

Mathematik Nr. 89

Eine Dorfgemeinde besitzt derzeit 1111 Einwohner - einen mehr als doppelt so viele wie vor 111 Jahren. Außer der Dorfmühle, deren Einwohnerzahl heute wie damals 11 beträgt, sind alle Ortsteile (Hinterdorf, Zwischendorf und Vorderdorf) gewachsen. Dabei gewann Hinterdorf doppelt so viele Einwohner hinzu wie das kleinere Vorderdorf, wohingegen Zwischendorf seine Einwohnerzahl um genau 7/11 steigerte, so dass es heute genau 1/11 der Einwohner von Hinterdorf hat.

Wie groß sind die Ortsteile heute?

Lösung anzeigen

Das Dorf hat heute 1111 Einwohner; vor 111 Jahren hatte es 555 Einwohner.

Variablen: Großbuchstaben bezeichnen heutige Einwohnerzahl, Kleinbuchstaben die vor 111 Jahren. Es werden jeweils Anfangsbuchstaben der Ortsteile verwendet. Damit lauten die Angaben:

D+H+Z+V = 1111
d+h+z+v=555
d = D = 11
(H - h) = 2 * (V - v)
H > V
Z = 18/11 * z
Z = 1/11 * H
H > h, Z > z, V > v

Damit sowohl z als auch Z ganzzahlig sind, muss z durch 11 und Z durch 18 teilbar sein. Wegen Z=1/11*H muss H durch 11*18 = 198 teilbar sein.

Es ergibt sich folgende Tabelle (es ist alles eingetragen, was mit Hilfe der Grundrechenarten berechenbar ist):

  D=d  |   H   |   Z   |   V   |   h   |   z   |   v
-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------
   11  |  594  |   54  |  452  |       |  33   |
   11  |  792  |   72  |  236  |       |  44   |
   11  |  990  |   90  |   20  |       |  55   |

Aus

(H - h) = 2 * (V - v)

folgt

H - 2V = h - 2v

und H-2V kann man ausrechnen: -310, 320 und 950. Die dritte Lösung ist unbrauchbar, da hier h deutlich größer als 555 sein müsste (wenn wir mal davon ausgehen, dass negative Einwohnerzahlen von Vorderdorf  mal aussen vor gelassen).

h + v = 555-11-z

also haben wir zwei Gleichungssysteme, von denen eins hoffentlich ganzzahlig lösbar ist:

a) h + v = 555 - 11 - 33
   h - 2v = -310
   v = 821 / 3, also (ganzzahlig) unlösbar
b) h + v = 555 - 11 - 44
   h - 2v = 320
   v = 60 und h = 440

Damit ergibt sich die Lösung:

  D=d  |   H   |   Z   |   V   |   h   |   z   |   v
-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------
   11  |  792  |   72  |  236  |  440  |  44   |  60