Das Dorf hat heute 1111 Einwohner; vor 111 Jahren hatte es 555 Einwohner.
Variablen: Großbuchstaben bezeichnen heutige Einwohnerzahl, Kleinbuchstaben
die vor 111 Jahren. Es werden jeweils Anfangsbuchstaben der Ortsteile verwendet.
Damit lauten die Angaben:
D+H+Z+V = 1111
d+h+z+v=555
d = D = 11
(H - h) = 2 * (V - v)
H > V
Z = 18/11 * z
Z = 1/11 * H
H > h, Z > z, V > v
Damit sowohl z als auch Z ganzzahlig sind, muss z durch 11 und Z durch 18 teilbar
sein. Wegen Z=1/11*H muss H durch 11*18 = 198 teilbar sein.
Es ergibt sich folgende Tabelle (es ist alles eingetragen, was mit Hilfe der
Grundrechenarten berechenbar ist):
D=d | H | Z | V | h | z | v
-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------
11 | 594 | 54 | 452 | | 33 |
11 | 792 | 72 | 236 | | 44 |
11 | 990 | 90 | 20 | | 55 |
Aus
(H - h) = 2 * (V - v)
folgt
H - 2V = h - 2v
und H-2V kann man ausrechnen: -310, 320 und 950. Die dritte Lösung ist unbrauchbar,
da hier h deutlich größer als 555 sein müsste (wenn wir mal davon ausgehen, dass
negative Einwohnerzahlen von Vorderdorf mal aussen vor gelassen).
h + v = 555-11-z
also haben wir zwei Gleichungssysteme, von denen eins hoffentlich ganzzahlig
lösbar ist:
a) h + v = 555 - 11 - 33
h - 2v = -310
v = 821 / 3, also (ganzzahlig) unlösbar
b) h + v = 555 - 11 - 44
h - 2v = 320
v = 60 und h = 440
Damit ergibt sich die Lösung:
D=d | H | Z | V | h | z | v
-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------
11 | 792 | 72 | 236 | 440 | 44 | 60
