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Zehn Quadrate

Mathematik Nr. 88

Hier seht ihr ein großes Rechteck, bestehend aus 10 Quadraten:

Aufgabe

Wie groß sind die Seiten jedes einzelnen Quadrates mindestens, wenn sie alle verschieden groß und ganzzahlig sind?

Lösung anzeigen

Zunächst bezeichnen wir die einzelnen Quadrate mit Buchstaben, um mit ihnen "rechnen" zu können:

Lösung

Aus dem Diagramm leitet man 9 Gleichungen ab und löst das Gleichungssystem. Beim Erstellen der Gleichungen muss man allerdings darauf achten, keine Gleichungen mit redundanten Informationen zu erwischen (d.h. die Gleichungen müssen linear unabhängig sein).

Hier sind 9 Gleichungen, die diese Bedingung erfüllen:

c = h+e
g = i+k
d = k+f
a = c+h
b = g+f
e = h+i
a+c = b+f+d
e+i = d+k
a+h = b+g+i

Dieses Gleichungssystem löse man durch Einsetzung, bis nur noch eine einzige Gleichung mit zwei Variablen übrig ist. Für die eine Variable wähle man den Wert 1 und rechne die anderen 9 Variablen aus. Dabei entstehende Brüche auf ganze Zahlen erweitern (und dabei natürlich alle Variablen mit erweitern). Man erhält dann:

a = 60, b = 45, c = 44, d = 33, e = 28,
f = 26, g = 19, h = 16, i = 12, k = 7

Hier noch ein Beispiel für redundante Gleichungen: Wenn man wie oben die Gleichungen

(1)  a = c+h  und
(2)  b = g+f

wählt, dann darf die Gleichung

(3)  a+b = c+h+g+f

nicht benutzt werden: Man setzte (1) und (2) in (3) ein und erhält

(4)  c+h+g+f = c+h+g+f

was keinerlei Informationen liefert.