ALL EN FR ES IT

Logo

≡ ► ◄ ▲

Summen und Produkte

Mathematik Nr. 84

Paul kennt das Produkt x*y zweier Zahlen x und y aus dem Bereich 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 und Susi kennt die Summe x+y.

Paul und Susi wissen, dass x und y aus dem angegebenen Bereich sind.

1. P sagt: Ich kenne die Zahlen nicht
   S sagt: Ich kenne die Zahlen nicht
2. P sagt: Ich kenne die Zahlen nicht
   S sagt: Ich kenne die Zahlen nicht.
3. P sagt: Ich kenne die Zahlen nicht
   S sagt: Ich kenne die Zahlen nicht.
4. P sagt: Ich kenne die Zahlen nicht
   S sagt: Ich kenne die Zahlen nicht.
5. P sagt: Jetzt kenne ich die Zahlen.

Wie lauten die beiden Zahlen?

Lösung anzeigen

Man kann natürlich ein Programm schrieben, das in Sekundenschnalle alle Möglichkeiten durchprobiert; aber es geht auch mit Papier und Bleistift.

Sei o.B.d.A x <= y, dann gibt es anfänglich 45 Möglichkeiten für ein Lösungspaar (x;y).

Die 1. Aussage von P schließt (1;1), (1;2), (1;3), (1;5), (1;7), (2;5), (2;7), (3;5), (3;7), (3;9), (4;5), (4;7), (4;8), (5;5), (5;6), (5;7), (5;8), (5;9), (6;7), (6;8), (6;9), (7;7), (7;8), (7;9), (8;8), (8;9) und (9;9) als mögliche Lösungen aus.

Es bleiben also 18 Paare übrig, die 9 verschiedene Produkte und 10 verschiedene Summen bilden:

Produkte Summen
 4: (1;4), (2;2)
 6: (1;6), (2;3)
 8: (1;8), (2;4)
 9: (1;9), (3;3)
12: (2;6), (3;4)
16: (2;8), (4;4)
18: (2;9), (3;6)
24: (3;8), (4;6)
36: (4;9), (6;6)
 4: (2;2)
 5: (1;4), (2;3)
 6: (2;4), (3;3)
 7: (1;6), (3;4)
 8: (2;6), (4;4)
 9: (1;8), (3;6)
10: (1;9), (2;8), (4;6)
11: (2;9), (3;8)
12: (6;6)
13: (4;9)

Die 1. Aussage von S schließt also die Summen 4, 12 und 13 aus.

(Ab hier werden in beiden Tabellen gleichzeitig diejenigen Paare gestrichen, die in der Summentabelle einzeln in einer Zeile vorkommen, dann diejenigen, die in der Produkttabelle einzeln in einer Zeile vorkommen und so fort.)

Nach der jeweils 1. Aussage von P und S sehen die Tabellen so aus:

Produkte Summen
 4: (1;4)
 6: (1;6), (2;3)
 8: (1;8), (2;4)
 9: (1;9), (3;3)
12: (2;6), (3;4)
16: (2;8), (4;4)
18: (2;9), (3;6)
24: (3;8), (4;6)
 5: (1;4), (2;3)
 6: (2;4), (3;3)
 7: (1;6), (3;4)
 8: (2;6), (4;4)
 9: (1;8), (3;6)
10: (1;9), (2;8), (4;6)
11: (2;9), (3;8)

Die 2. Aussage von P streicht (1;4) aus beiden Tabellen, diejenige von S streicht (2;3):

Produkte Summen
 6: (1;6)
 8: (1;8), (2;4)
 9: (1;9), (3;3)
12: (2;6), (3;4)
16: (2;8), (4;4)
18: (2;9), (3;6)
24: (3;8), (4;6)
 6: (2;4), (3;3)
 7: (1;6), (3;4)
 8: (2;6), (4;4)
 9: (1;8), (3;6)
10: (1;9), (2;8), (4;6)
11: (2;9), (3;8)

Die 3. Aussage von P streicht (1;6) aus beiden Tabellen, diejenige von S streicht (3;4):

Produkte Summen
 8: (1;8), (2;4)
 9: (1;9), (3;3)
12: (2;6)
16: (2;8), (4;4)
18: (2;9), (3;6)
24: (3;8), (4;6)
 6: (2;4), (3;3)
 8: (2;6), (4;4)
 9: (1;8), (3;6)
10: (1;9), (2;8), (4;6)
11: (2;9), (3;8)

Die 4. Aussage von P streicht (2;6) aus beiden Tabellen, diejenige von S streicht (4;4):

Produkte Summen
 8: (1;8), (2;4)
 9: (1;9), (3;3)
16: (2;8)
18: (2;9), (3;6)
24: (3;8), (4;6)
 6: (2;4), (3;3)
 9: (1;8), (3;6)
10: (1;9), (2;8), (4;6)
11: (2;9), (3;8)

Laut 5. Aussage von P kennt P jetzt die Zahlen; das Produkt muss also 16 sein (für alle anderen Produkte gäbe es zwei Lösungen); die Zahlen müssen 2 und 8 sein.