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Student(inn)en an der Universität

Mathematik Nr. 83

An einer Universität sind 10003 Studierende immatrikuliert. Davon sollen sein:

 397 verheiratet,
6046 männlichen Geschlechts,
9121 jünger als 24 Jahre,
 228 verheiratete männliche Studenten,
5236 männlich und jünger als 24 Jahre,
 187 verheiratet und jünger als 24 Jahre und
  91 verheiratete männliche Studenten jünger als 24 Jahre

Sind diese Angaben plausibel?

Lösung anzeigen

Sei

V = verheiratet
L = ledig
M = männlich
W = weiblich
J = jünger als 24
A = nicht jünger als 24

Man zerlege die Menge aller Studenten auf die acht disjunkte Schnittmengen VMJ, VMA, VWJ, VWA, LMJ, JMA, LWJ und LWA und berechne die Anzahl der Elemente in diesen Mengen. Dann muss gelten:

VMJ + VMA + VWJ + VWA + LMJ + LMA + LWJ + LWA = 10003

Und außerdem:

VMJ + VMA + VWJ + VWA = 397
VMJ + VMA + LMJ + LMA = 6046
VMJ + VWJ + LMJ + LWJ = 9121
VMJ + VMA = 228
VMJ + LMJ = 5236
VMJ + VWJ = 187
VMJ = 91

Das sind acht Gleichungen mit acht Variablen. Die Lösung des Gleichungssystems ergibt:

VMJ = 91
VMA = 137
VWJ = 96
LMJ = 5145, 
LMA = 673
LWJ = 3789
LWA = -1 (!).

-1 ist keine sinnvolle Lösung; die Angaben sind daher widersprüchlich.

Von den Student(inn)en sollen

(1)  397 verheiratet,
(2) 6046 männlichen Geschlechts,
(3) 9121 jünger als 24 Jahre,
(4)  228 verheiratete männliche Studenten,
(5) 5236 männlich und jünger als 24 Jahre,
(6)  187 verheiratet und jünger als 24 Jahre und
(7)   91 verheiratete männliche Studenten jünger als 24 Jahre

sein. Wir zählen nun die Student(inn)en, die erforderlich sind, um diese sieben Bedingungen zu erfüllen:

    (3)-(5) ==> 3885 weiblich jünger als 24
    + 6046  ==> 9931 männlich oder (weiblich und < 24)
(8) (6)-(7) ==>   96 verheiratet weiblich < 24 (8)
(9) (1)-(4) ==>  169 weiblich verheiratet (9)
    (9)-(8) ==>   73 weiblich verheiratet >=24
     + 9931 ==> 10004 Studenten

Es müssen also insgesamt 10004 Stundenten sein, um die Bedingungen zu erfüllen; mit 10003 Studenten geht es nicht; die Angaben sind also widersprüchlich.