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Das spezielle Puzzle

Mathematik Nr. 82

Ich habe da gerade ein kleines Uli-Stein-Puzzle bekommen, das fast genauso viele Innenteile wie Randteile hat. Jetzt stellte ich mir die Frage, welche Puzzles mit n mal m Teilen genau so viele Randteile wie Innenteile haben?

Lösung anzeigen

Seien a und b die Längen der Puzzleseiten ohne Ecken (also x-2 und y-2 bei einem x*y-Puzzle), dann muss gelten:

a * b = 2a + 2b + 4
a = (2b+4) / (b-2)

(wobei a und b ganzzahlig sein müssen). Erfüllt werden diese Bedingungen nur von Puzzles mit 12x5 Teilen oder 8x6 Teilen.

Für n, m>=2 gilt:

Anzahl der Innenteile = (n-2)(m-2)
Anzahl der Randteile  = 2n+2m-4

Gleichsetzen und umformulieren liefert

(n-4)(m-4) = 8

Die möglichen Faktorisierungen von 8 sind:

8 = 1x8 n=5, m=12
8 = 2x4 n=6, m=8
8 = 4x2 n=8, m=6
8 = 8x1 n=12, m=5

Es gibt also nur zwei Puzzles mit gleich vielen Innen- wie Außenteilen: 12x5 und 8x6.