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Der frustrierte Regienschirmverkäufer

Mathematik Nr. 81

»Wie geht das Geschäft?« fragte ich den Mann, der an der Ecke unserer Straße seit etwa sechs Wochen täglich, außer sonntags, Schirme verkauft.

Er ist gerade dabei, seinen Stand abzuräumen.

»Schlecht«, antwortete er, »ich gebe es auf. An Regentagen habe ich durchschnittlich 20 Schirme pro Tag verkauft. Aber an trockenen Tagen wurde ich nur ein Fünftel der Anzahl los, die ich über die ganze Zeit im Durchschnitt pro Tag verkauft habe. Gottlob gibt es mehr Regentage als trockene Tage.«

An wie vielen Tagen hat es geregnet?

Lösung anzeigen

Sei

x die Verkaufszahlen an Trockentagen
y die Regentage
z die Trockentage
a die Tage gesamt
b die Schirme gesamt

Dann ergibt sich

(1) a = y + z
(2) b = x * z + y * 20
(3) x = 1/5 * b/a

Da er an trockenen Tagen weniger als durchschnittlich verkauft, muss er an Regentagen mehr als durchschnittlich verkaufen:

(4) 20 > b/a

Dann folgt aus (3) und (4)

(5) x = 1/5 * b/a < 1/5 * 20 = 4

Nun probieren wir doch einfach mal, ob es für x = 3 passt. Dann folgt aus (3):

(6) 3 = 1/5 * b/a => b/a = 15 => b = 15a

Einsetzen in (1) und (2) liefert :

(7) a = z + y
(8) 15*a = 3*z + 20*y

Mit 15*(7)-(8) kommt man darauf, dass gilt:

12*z - 5*y = 0

Für ganzzahlige y und z ergeben sich dann u. a. die Lösungen:

12 Regentage, 5 Trockentage
24 Regentage, 10 Trockentage
36 Regentage, 15 Trockentage

usw.

Da der Schirmverkäufer seit etwa 6 Wochen and 6 Wochentagen arbeitet, kommt nur die Lösung in Frage die ziemlich nah an 36 Gesamttagen liegt; also die Lösung mit 24 Regentagen und 10 Trockentagen.

Bleibt noch zu überprüfen, ob x=3 die einzige Lösung ist.

Also ist die gefundene Lösung auch die einzige: Es hat an 24 Tagen geregnet.