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Das Spiel des kleinen Heinz

Mathematik Nr. 79

Der kleine Heinz denkt sich im Stillen zwei natürliche Zahlen x und y.  Dann addiert er die Zahlen x, x+1, x+2, ... , x+y und verkündet laut die gefundene Summe. Wenn er sich zum Beispiel x=4 und y=3 denkt, dann sagt er am Schluss laut: 22 (=4+5+6+7).

Welche natürlichen Zahlen wird der kleine Heinz bei diesem Spiel niemals sagen?

Lösung anzeigen

Vorüberlegung:

Die Summe ist

   s = (x + y/2) (y + 1)

(Beweis durch Gaußsche Summenformel).

Behauptung:

Die Zweierpotenzen sind die einzigen Zahlen, die Heinz mit Sicherheit niemals nennt.

Beweis:

(1) Nehmen wir eine Zahl  s , die keine Zweierpotenz ist. Dann
können wir s schreiben als

   s = 2n * u

wobei  n >= 0  eine ganze und  u > 1  eine ungerade Zahl ist.

Falls  u < 2n+1 , so ist

   x := 2n - (u-1)/2
   y := u - 1

eine Lösung.

Falls  u > 2n+1 , so ist

   x := (u+1)/2 - 2n
   y := 2n+1 - 1

eine Lösung.

(2) Nehmen wir eine Zweierpotenz  s = 2n , wobei  n >= 0  eine ganze Zahl ist. Gäbe es eine Zerlegung

   s = (x + y/2) (y + 1)

so wäre  y+1 = 2m  eine Zweierpotenz. Wegen  y > 0  wäre  m > 0  und somit  y ungerade. Somit wäre

   2n-m = x + y/2 > 1

eine nicht ganzzahlige Zweierpotenz. Widerspruch! Also gibt es keine solche Zerlegung.