Mathematik Nr. 79 - Das Spiel des kleinen Heinz

Der kleine Heinz denkt sich im Stillen zwei natürliche Zahlen x und y. Dann addiert er die Zahlen x, x+1, x+2, ... , x+y und verkündet laut die gefundene Summe. Wenn er sich zum Beispiel x=4 und y=3 denkt, dann sagt er am Schluss laut: 22 (=4+5+6+7).

Welche natürlichen Zahlen wird der kleine Heinz bei diesem Spiel niemals sagen?

∨ Lösung

Vorüberlegung:

Die Summe ist

   s = (x + y/2) (y + 1)

(Beweis durch Gaußsche Summenformel).

Behauptung:

Die Zweierpotenzen sind die einzigen Zahlen, die Heinz mit Sicherheit niemals nennt.

Beweis:

(1) Nehmen wir eine Zahl s , die keine Zweierpotenz ist. Dann
können wir s schreiben als

   s = 2ⁿ * u

wobei n >= 0 eine ganze und u > 1 eine ungerade Zahl ist.

Falls u < 2ⁿ⁺¹ , so ist

   x := 2ⁿ - (u-1)/2
   y := u - 1

eine Lösung.

Falls u > 2ⁿ⁺¹ , so ist

   x := (u+1)/2 - 2ⁿ
   y := 2ⁿ⁺¹ - 1

eine Lösung.

(2) Nehmen wir eine Zweierpotenz s = 2ⁿ , wobei n >= 0 eine ganze Zahl ist. Gäbe es eine Zerlegung

   s = (x + y/2) (y + 1)

so wäre y+1 = 2^m eine Zweierpotenz. Wegen y > 0 wäre m > 0 und somit y ungerade. Somit wäre

   2^n-m = x + y/2 > 1

eine nicht ganzzahlige Zweierpotenz. Widerspruch! Also gibt es keine solche Zerlegung.