Mathematik Nr. 69 - Der Schimmelpilz [janko.at]

Eine Versuchsanordnung besteht aus einer quadratischen Platte, die in 10x10 kleinere Quadrate unterteilt sind. Genau neun dieser Quadrate sind von einem Schimmelpilz befallen. Der Schimmelpilz kann auf ein neues Quadrat Q übergreifen, wenn mindestens zwei der vier orthogonalen Nachbarn von Q bereits befallen sind.

Kann die gesamte 10x10 Platte vom Schimmelpilz befallen werden? Warum? Warum nicht?

Lösung anzeigen

Nein, mit neun Schimmelpilzen geht es nicht.

Sei U der Gesamtumfang der befallenen Flächen. Am Anfang ist U höchstens 36 (und das nur dann, wenn keine zwei Schimmelpilze auf benachbarten Zellen sind). Wenn eine neue Zelle Z befallen wird, kann der Umfang nicht größer werden:

Wenn vorher zwei Nachbarn von Z befallen waren, bleibt U gleich.
Wenn vorher drei Nachbarn von Z befallen waren, sinkt U um zwei.
Wenn vorher alle vier Nachbarn von Z befallen waren, sinkt U um vier.

Wenn die ganze Platte befallen würde, dann müsste U=40 sein/werden, was aber nicht möglich ist.