Mathematik Nr. 69 - Der Schimmelpilz

Eine Versuchsanordnung besteht aus einer quadratischen Platte, die in 10x10 kleinere Quadrate unterteilt sind. Genau neun dieser Quadrate sind von einem Schimmelpilz befallen. Der Schimmelpilz kann auf ein neues Quadrat Q übergreifen, wenn mindestens zwei der vier orthogonalen Nachbarn von Q bereits befallen sind.

Kann die gesamte 10x10 Platte vom Schimmelpilz befallen werden? Warum? Warum nicht?

Lösung anzeigen

Nein, mit neun Schimmelpilzen geht es nicht.

Sei U der Gesamtumfang der befallenen Flächen. Am Anfang ist U höchstens 36 (und das nur dann, wenn keine zwei Schimmelpilze auf benachbarten Zellen sind). Wenn eine neue Zelle Z befallen wird, kann der Umfang nicht größer werden:

Wenn vorher zwei Nachbarn von Z befallen waren, bleibt U gleich.
Wenn vorher drei Nachbarn von Z befallen waren, sinkt U um zwei.
Wenn vorher alle vier Nachbarn von Z befallen waren, sinkt U um vier.

Wenn die ganze Platte befallen würde, dann müsste U=40 sein/werden, was aber nicht möglich ist.