Mathematik Nr. 67 - Schatzsuche

Sie finden ein altes Pergament, das von einem immensen Schatz auf einer Insel berichtet. Das Papier enthält auch die Beschreibung, wie der Schatz zu finden ist:

»Um den Schatz zu finden, suche zuerst den Holzgalgen auf der Insel. Wenn du ihn gefunden hast, wirst du die einzigen zwei Bäume der Insel sehen, eine Eiche und eine Buche. Warte eventuell das Ende eines Gewitters ab, gehe dann zu der Eiche und zähle dabei die Schritte. An der Eiche angelangt, drehe dich um 90 Grad im Uhrzeigersinn und gehe noch einmal die gleiche Anzahl Schritte. Dort stecke ein Hölzchen in den Boden. Gehe nun vom Galgen zur Buche und zähle wieder die Schritte, die du brauchst. Bei der Buche drehe dich um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn und gehe noch einmal die gleiche Zahl von Schritten. Hier steckst du wieder ein Hölzchen in den Boden. Der Schatz befindet sich jetzt in der Mitte der beiden Hölzchen.«

Da Sie ja reich werden wollen, machen Sie sich auf zu der Insel. Dort angekommen, finden Sie auch die beiden Bäume, nur der Galgen ist offensichtlich ein Opfer von Unwettern geworden, er ist nirgends zu sehen. Wie finden Sie trotzdem den Schatz, ohne die ganze Insel durchzupflügen?

∨ Lösung

Von Martin Polak:

Wenn man ein Koordinatensystem einführt, wird's ziemlich offensichtlich. Der "Schatzpunkt" enthält dann keine Koordinaten des Galgens mehr, und schaut wie folgt aus:

  1/2 * (e1+b1+e2-b2, -e1+b1+e2+b2)

wobei (e1, e2) der "Eschenpunkt" und (b1, b2) der "Buchenpunkt" sind.

Das oben kann man umschreiben zu:

  1/2 * (e1+b1, e2+b2) + 1/2 * (e2-b2, -e1+b1)

wobei der erste Teil der "Halbierungspunkt" zwischen Eiche und Buche ist und der zweite Teil einem Vektor der halben Länge der Strecke Eiche-Buche in Normalrichtung auf diese entspricht.

Also: Von der Buche zur Eiche schritte zählen, dann von der Eiche die halben Schritte Zurück in Richtung Buche, eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn um 90° und noch einmal die halbe Buche-Eiche-Strecke.

Von Gerhard Woeginger:

Wir wählen ein (geeignet skaliertes und gedrehtes) Koordinatensystem, sodass die Eiche im Punkt (0,0) und die Buche im Punkt (2,0) liegt. Der Galgen hat die Koordinaten (a,b). Das erste Hölzchen steckt dann im Punkt (-b,a), und das zweite Hölzchen steckt im Punkt (2+b,2-a). Der Mittelpunkt zwischen den beiden Hölzchen ist (1,1) und von der Position des Galgens unabhängig. Der Schatzsucher kann daher seinen eigenen Galgen mitnehmen, ihn irgendwo auf der Insel aufstellen, und dann dem Pergament folgen.