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Quadratische Teilsummen

Mathematik Nr. 66

Kann man die Zahlen 1, 2, 3, ... , 16 so in einer Zeile anordnen, dass sich je zwei nebeneinander stehende Zahlen zu einer Quadratzahl aufaddieren?

Beispiel: 2, 7, 9, 16, ... wäre eine Möglichkeit für die ersten vier Zahlen (2+7=9, 7+9=16, 9+16=25); dann bleibt man aber stecken.

Lösung anzeigen

Man muss 15 mal eine Quadratzahl zwischen 4 und 25 bilden. Zuerst einmal nimmt man an, dass man jede der Zahlen 1~16 zweimal zur Verfügung hat:

4: 1x  (1;x) (2;2) (3;x) (4;4) (5;5) (6;6) (7;7) (8;8) (9;9) (10;10) (11;11) (12;12) (13;13) (14;14) (15;15) (16;16)

9: 4x  (x;x) (2;x) (x;x) (4;x) (5;x) (6;x) (7;x) (8;x) (9;9) (10;10) (11;11) (12;12) (13;13) (14;14) (15;15) (16;16)

16: 5x  (x;x) (x;x) (x;x) (x;x) (x;x) (x;x) (x;x) (8;x) (9;x) (10;x) (11;x) (12;x) (13;13) (14;x) (15;15) (16;16)

25: 4x  (x;x) (x;x) (x;x) (x;x) (x;x) (x;x) (x;x) (8;x) (x;x) (x;x) (x;x) (x;x) (x;13) (x;x) (15;x) (16;x)

So kann man aber nur 1+4+5+4=14 Quadratzahlen bilden!

Beginnt man aber mit der 25, kann man 4x9, 7x16 und 4x25 bilden, wobei die 4 (als Summe) nicht verwendet wird. Die 16 und die 8 bleiben je einmal übrig, müssen also am Anfang bzw. am Ende stehen.

Damit sind auch die zweite und die vorletzte Zahl festgelegt (25=16+9 und 9=8+1; also 9 und 1).

Der Rest ist nicht mehr schwer:

16, 9, 7, 2, 14, 11, 5, 4, 12, 13, 3, 6, 10, 15, 1, 8