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Zwei Mathematiker im Gespräch

Mathematik Nr. 64

Es werden zwei natürliche Zahlen zwischen 2 und 20 ausgewählt. Mathematiker S wird die Summe mitgeteilt; Mathematiker P das Produkt.

Die beiden Mathematiker kennen die Untergrenze der beiden Zahlen, aber nicht deren Obergrenze.

Es entspinnt sich folgendes Gespräch:

S: Ich kann mir nicht vorstellen, dass du meine Summe herausfinden kannst.

P: Jetzt kenne ich deine Summe.

S: Jetzt kenne ich auch dein Produkt.

Wie lautet die Summe, wie das Produkt?

Lösung anzeigen

1. Schritt:

Für S ist entscheidend, ob sich s als Summe zweier Primzahlen darstellen lässt. Wäre das der Fall, dann könnte er seine erste Aussage nicht machen.

Beispielsweise müsste er bei s=10 mit p=25 (5*5) oder 21 (3*7) rechnen, womit P sofort s bestimmen könnte.

Aufgrund der Aussage von S können wir für s alle Möglichkeiten streichen, die sich als Summe von 2 Primzahlen darstellen lassen. Dazu gehören alle geraden Zahlen und alle ungeraden Zahlen für die gilt: Primzahl + 2.

Übrig bleiben für s: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, ...

Diese Zahlenfolge bezeichne ich hier als die Menge der möglichen Summen MS.

2. Schritt:

P zerlegt p auf jede mögliche Weise und addiert die Faktoren. Dadurch erhält eine Anzahl möglicher Summen. Er stellt fest:

Tatsächlich, p lässt sich auf mehr als eine Art als Produkt zweier Faktoren darstellen. Doch warum war sich S dessen so sicher?

P versetzt sich in die Lage von S, durchdenkt den 1. Schritt und schlussfolgert:

Eine oder mehrere der Summen, die ich durch die Faktorzerlegung herausgefunden habe, muss zu MS gehören.

Oh, welche Freude, genau eine der Summen gehört zu MS. Damit kenne ich nun die Summe von S.

3. Schritt:

S versetzt sich in die Lage von P und durchdenkt Schritt 2.

Warum kennt P meine Summe? P muss bei der Faktorzerlegung und der anschließenden Summierung auf eine und nur eine Summe gestoßen sein, die zu MS gehört.

S untersucht nun alle möglichen Produkte, die mit seiner Summe möglich sind, indem er Schritt 2 jedes mal anwendet. Dabei stellt er fest, dass bei einem und nur bei einem Produkt, die Schlussfolgerung aus Schritt 2 zum Erfolg führt.

In allen anderen Fällen gehören entweder mehrere Summen zu MS oder keine. Damit ist auch für S das Produkt eindeutig.

4. Schritt:

Wir müssen nun für jede Summe aus MS den Schritt 3 durcharbeiten. Falls nur für genau eine Zahl die Schlussfolgerung aus Schritt 3 zutrifft, haben wir eine eindeutige Lösung.

5. Schritt:

Man erhält

   s = 17
   p = 52

Die beiden ausgewählten Zahlen waren 4 und 13.