Mathematik Nr. 61 - 2000 Knöpfe

Fünf Frauen, Adele, Berta, Claudia, Doris und Erna, sammeln Knöpfe. Adele, Berta, Claudia und Doris haben zusammen 2000 Knöpfe. Wenn man

Adele freut sich, dass sie schon bald 100 Knöpfe besitzt. Wie viele fehlen ihr noch?

∨ Lösung

Adele hat 76 Knöpfe; es fehlen ihr noch 24.

Es seien a, b, c, d und e die Anzahl der Knöpfe von Adele, Berta, Claudia, Doris und Erna. Laut Angabe gilt

  (1) a+e = b-e = c*e = d/e 
  (2) a+b+c+d = 2000.
  (3) a < 100

Daher ist a=c*e-e, b=c*e+e und d=c*e*e.

Einsetzen in die Gleichung (2) ergibt (2'):

  (2') 2000 = (c*e-e)+(c*e+e)+c+(c*e*e) 
            = c*(e+1)*(e+1) 
            = c*(e+1)²

Einsetzen in (3) ergibt (3'):

  (3') c*e-e   < 100 bzw.
       e*(c-1) < 100

Wenn 1 ≤ e+1 ≤ 4, dann ist c = 2000/(e+1)² ≥ 2000/16 = 125. Dies widerspricht (3').

Wenn 5 ≤ e+1 ≤ 8, dann ist c ≥ 2000/64 > 30. Dies widerspricht (3').

Wenn 9 ≤ e+1 ≤ 10, dann ist c ≥ 2000/100 = 20. Dies widerspricht (3').

Also muss e+1 ≥ 11 und (e+1)² außerdem ein Teiler von 2000 sein.

Daraus folgt e+1=20 und c=5, und a=e*(c-1)=19*4=76.