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Rebhühner, Karnickel und Schafe

Mathematik Nr. 59

Ein Bauer übergibt seinem Sohn 100 Taler. Dafür soll er auf dem Markt 100 Tiere kaufen und das gesamte Geld investieren, aber auch keine Schulden machen. Der Sohn soll jeweils mindestens 1 Rebhuhn, 1 Karnickel und 1 Schaf mitbringen.

Auf dem Markt werden die Tiere zu folgenden Preisen angeboten:

Wie viele Tiere von jeder Gattung muss der Sohn mitbringen, um die Vorgaben des Vaters zu erfüllen?

Lösung anzeigen

Von Winfried Bayer:

 5 Schafe     zu je   10  =  50
 1 Karnickel  zu je    3  =   3
94 Rebhühner  zu je  0,5  =  47
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   Summe                    100 Taler

Von Gerald Tarnai:

r Rebhühner, k Karnickel, s Schafe

      r + k + s = 100    k = 100 – r – s 
0,5r + 3k + 10s = 100    s < 10, k < 30 

0,5r + 300 – 3r – 3s + 10s = 100 
                 2,5r – 7s = 200 
                  5r – 14s = 400 

Zuerst löst man die diophantische Gleichung 5r – 14s = 1

spezielle Lösung: r = 3, s = 1!

Jetzt zur Gleichung 5r – 14s = 400

Spezielle Lösung: r = 1200, s = 400
Allgemeine Lösung: r = 1200 + 14g, s = 400 + 5h
Für g = –85 ist r = 10; die weiteren Werte: 24, 38, 52, 66, 80, 94, (108)

Also:

5r – 400 = 14s, also
5r – 400 > 0, daher r > 80
r = 94, s = 5, k = 1

Er muss also 94 Rebhühner, 1 Karnickel und 10 Schafe mitbringen.