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Professor Stanislaw auf der Rolltreppe

Mathematik Nr. 56

Als Professor Stanislaw, ein polnischer Mathematiker, sehr langsam auf einer sich abwärts bewegenden Rolltreppe hinunter ging, erreichte er das untere Ende der Treppe nach 50 Schritten. Interessehalber rannte er dieselbe Rolltreppe aufwärts, wobei er immer eine Stufe auf einmal nahm, und kam oben nach 125 Schritten an.

Vorausgesetzt, dass der Professor fünfmal so schnell aufwärts wie abwärts ging (d.h. fünf Stufen in derselben Zeit nahm, in der er vorher eine Stufe genommen hatte) und dass er sich bei beiden Fahrten mit konstanter Geschwindigkeit bewegte, wie viele Stufen wären sichtbar, wenn die Rolltreppe stehen bleiben würde?

Lösung anzeigen

Sei L die Länge der Rolltreppe in Anzahl Stufen (= gesuchte Länge), vr die Geschwindigkeit der Rolltreppe, v1 = die Geschwindigkeit des Professors beim Hinuntergehen, v2 die Geschwindigkeit des Professors beim Hinaufgehen, t1 die Gesamtzeit beim Hinuntergehen und  t2 die Gesamtzeit beim Hinaufgehen.

Gegeben ist:

   v2 = 5v1
-> 125 Stufen/t2 = 5*50 Stufen/t1
-> t2 = 1/2*t1

Beim Hinuntergehen gilt:

   L = (vr+v1)*t1
   L = vr*t1+v1*t1

mit v1*t1 = 50 Stufen ergibt sich

   L = 50 Stufen + vr*t1 [A]

Beim Hinaufgehen gilt:

   L = (v2-vr)*t2
   L = v2*t2-vr*t2

mit v2*t2=125 Stufen und t2=1/2*t1 ergibt sich

   L = 125 Stufen - 1/2vr*t1 [B]

Multiplikation der Gleichung [B] mit Faktor 2 und anschließend Addition zur Gleichung [A] addieren ergibt:

   3L = 300 Stufen
   L  = 100 Stufen