Von Gerhard Woeginger:
Die gesuchte Zahl x besteht aus der Ziffer 6, gefolgt von einem Ziffernblock
aus k Ziffern. Wir nennen die Zahl, die diesem Ziffernblock entspricht y. Da x
durch 4 teilbar ist, muss y auf jeden Fall durch 2 teilbar sein; daher y=2z.
Aus der Angabe wissen wir nun, dass gilt:
6*10k+y = 4*(10y+6)
Vereinfachung und Substitution y=2z ergibt:
6*10k = 78z+24
Division durch 6 ergibt:
10k = 13z+4
Nun bestimme man die kleinste Zahl k, für die 10k-4 durch 13 teilbar
ist: k=5 und x=615384
Von Alfred Pfeiffer:
Gesucht ist die Zahl x mit der Dezimaldarstellung '6abc...', wobei 'abc...'
die in Anzahl und Wert unbekannten Ziffern seien. Laut Aufgabenstellung gilt dann
für diese Ziffern
6abc.../4 = abc...6
Wir können jetzt das in der Grundschule erlernte Divisionsverfahren verwenden
und erhalten aus 6/4=1 die erste Ziffer ('a') des Quotienten, die aber gleichzeitig
auch zweite Ziffer von x ist.
Sukzessive ergeben sich damit die restlichen Ziffern. Das Ende wird erreicht,
wenn in einem Schritt der Quotient 6 mit dem Divisionsrest 0 auftritt.
Das komplette Schema sieht dann bei diese Aufgabe wie folgt aus:
abc...
6abc... / 4 = 153846
21
15
33
18
24
0
Anmerkung: Die Lösung ist von der benutzten Zahlennotation abhängig. Hier wurde
immer im Dezimalsystem gerechnet. Wir können jedoch noch untersuchen, ob in anderen
Zahlensystem eventuell kleinere Lösungen existieren. Klar ist, dass die
Basis g eines anderen Zahlensystems die Ziffer '6' zulassen muss, d.h. es gilt
g >= 7
Die Probe für das 7er-System ergibt:
abc... Anmerkungen
6abc... / 4 = 136 6(7)/4 = 1 Rest 2
21 21(7)/4 = 15(10):4 = 3 Rest 3
33 33(7)/4 = 24(10):4 = 6 Rest 0
0
Wir finden im 7er-System somit als kleinste Lösung x=613(7), also eine deutlich
kleinere als im Zehnersystem.
Von Wolfgang Kurth:
Folgendes rätselhafte Verfahren führt auch zum Ziel:
Man nimmt als Startwert die Einerziffer der gesuchten Zahl, also 6, multipliziert
sie mit 4 und addiert die Zehnerziffer:
4*6 + 0 = 24
Dieses Zwischenergebnis nimmt man als neuen Startwert und macht dann immer so
weiter (Einerziffer mal 4 plus Zehnerziffer):
4*4 + 2 = 18
4*8 + 1 = 33
4*3 + 3 = 15
4*5 + 1 = 21
4*1 + 2 = 6
Und wie man sieht, bilden die Einerziffern der Zwischenergebnisse (von unten
nach oben) die gesuchte Ziffernfolge!
