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Die verschobene Sechs

Mathematik Nr. 55

Bei einer Mathematikprüfung sollte u. a. die kleinste natürliche Zahl mit folgender Eigenschaft bestimmt werden: Die erste Ziffer dieser Zahl sei 6. Wird diese Ziffer vom Anfang an das Ende gestellt, so entsteht eine neue natürliche Zahl, deren Wert ein Viertel der ursprünglichen Zahl beträgt.

Welche natürliche Zahl ist das?

Lösung anzeigen

Von Gerhard Woeginger:

Die gesuchte Zahl x besteht aus der Ziffer 6, gefolgt von einem Ziffernblock aus k Ziffern. Wir nennen die Zahl, die diesem Ziffernblock entspricht y. Da x durch 4 teilbar ist, muss y auf jeden Fall durch 2 teilbar sein; daher y=2z.

Aus der Angabe wissen wir nun, dass gilt:

   6*10k+y = 4*(10y+6)

Vereinfachung und Substitution y=2z ergibt:

   6*10k = 78z+24

Division durch 6 ergibt:

   10k = 13z+4

Nun bestimme man die kleinste Zahl k, für die 10k-4 durch 13 teilbar ist: k=5 und x=615384

Von Alfred Pfeiffer:

Gesucht ist die Zahl x mit der Dezimaldarstellung '6abc...', wobei 'abc...' die in Anzahl und Wert unbekannten Ziffern seien. Laut Aufgabenstellung gilt dann für diese Ziffern

   6abc.../4 = abc...6

Wir können jetzt das in der Grundschule erlernte Divisionsverfahren verwenden und erhalten aus 6/4=1  die erste Ziffer ('a') des Quotienten, die aber gleichzeitig auch zweite Ziffer von x ist.

Sukzessive ergeben sich damit die restlichen Ziffern. Das Ende wird erreicht, wenn in einem Schritt der Quotient 6 mit dem Divisionsrest 0 auftritt.

Das komplette Schema sieht dann bei diese Aufgabe wie folgt aus:

                abc...
  6abc... / 4 = 153846
  21
   15
    33
     18
      24
       0

Anmerkung: Die Lösung ist von der benutzten Zahlennotation abhängig. Hier wurde immer im Dezimalsystem gerechnet. Wir können jedoch noch untersuchen, ob in anderen Zahlensystem eventuell kleinere Lösungen existieren.  Klar ist, dass die Basis g eines anderen Zahlensystems die Ziffer '6' zulassen muss, d.h. es gilt g >= 7

Die Probe für das 7er-System ergibt:

                abc...      Anmerkungen
  6abc... / 4 = 136          6(7)/4            = 1 Rest 2
  21                        21(7)/4 = 15(10):4 = 3 Rest 3
   33                       33(7)/4 = 24(10):4 = 6 Rest 0
    0

Wir finden im 7er-System somit als kleinste Lösung x=613(7), also eine deutlich kleinere als im Zehnersystem.

Von Wolfgang Kurth:

Folgendes rätselhafte Verfahren führt auch zum Ziel:

Man nimmt als Startwert die Einerziffer der gesuchten Zahl, also 6, multipliziert sie mit 4 und addiert die Zehnerziffer:

4*6 + 0 = 24

Dieses Zwischenergebnis nimmt man als neuen Startwert und macht dann immer so weiter (Einerziffer mal 4 plus Zehnerziffer):

4*4 + 2 = 18
4*8 + 1 = 33
4*3 + 3 = 15
4*5 + 1 = 21
4*1 + 2 =  6

Und wie man sieht, bilden die Einerziffern der Zwischenergebnisse (von unten nach oben) die gesuchte Ziffernfolge!